측도론 에서 외측도 (外測度, 영어 : outer measure )는 집합 의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수 이다.[1] [2]
집합
X
{\displaystyle X}
위의 (추상적) 외측도 ((抽象的)外測度, 영어 : (abstract) outer measure )는 다음 세 조건을 만족시키는 함수
μ
∗
:
P
(
X
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}
이다.
μ
∗
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0}
임의의
S
⊆
T
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}
에 대하여,
μ
∗
(
S
)
≤
μ
∗
(
T
)
{\displaystyle \mu ^{*}(S)\leq \mu ^{*}(T)}
(가산 준가법성) 임의의 가산 집합
S
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
(
|
S
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}}
)에 대하여,
μ
∗
(
⋃
S
)
≤
∑
μ
∗
(
S
)
{\displaystyle \textstyle \mu ^{*}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\leq \sum \mu ^{*}({\mathcal {S}})}
집합
X
{\displaystyle X}
위의 외측도
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
에 대한 카라테오도리 가측 집합 (Καραθεοδωρή可測集合, 영어 : Carathéodory measurable set )은 다음 조건을 만족시키는 집합
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
이다.
임의의
T
⊆
X
{\displaystyle T\subseteq X}
에 대하여,
μ
∗
(
T
)
=
μ
∗
(
S
∩
T
)
+
μ
∗
(
T
∖
S
)
{\displaystyle \mu ^{*}(T)=\mu ^{*}(S\cap T)+\mu ^{*}(T\setminus S)}
카라테오도리 가측 집합의 집합은
M
(
μ
∗
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}
로 표기한다.
집합
X
{\displaystyle X}
위의 외측도
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
에 대하여,
M
(
μ
∗
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}
는
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
의 부분 시그마 대수 를 이루며,
μ
∗
|
M
(
μ
∗
)
{\displaystyle \mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})}}
는
(
X
,
M
(
μ
∗
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))}
위의 측도 를 이루며, 또한 완비 측도 를 이룬다. 즉,
(
X
,
M
(
μ
∗
)
,
μ
∗
|
M
(
μ
∗
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}),\mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})})}
는 완비 측도 공간이다.
거리 공간
(
X
,
d
X
)
{\displaystyle (X,d_{X})}
속 두 집합
S
,
T
⊆
X
{\displaystyle S,T\subseteq X}
사이의 거리 는 다음과 같다.
d
X
(
S
,
T
)
=
inf
s
∈
S
t
∈
T
d
X
(
s
,
t
)
{\displaystyle d_{X}(S,T)=\inf _{\scriptstyle s\in S \atop t\in T}d_{X}(s,t)}
거리 공간
(
X
,
d
X
)
{\displaystyle (X,d_{X})}
위의 외측도
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
를 거리 외측도 (距離外測度, 영어 : metric outer measure )라고 한다.
임의의
S
,
T
⊆
X
{\displaystyle S,T\subseteq X}
에 대하여, 만약
d
X
(
S
,
T
)
>
0
{\displaystyle d_{X}(S,T)>0}
이라면,
μ
∗
(
S
∪
T
)
=
μ
∗
(
S
)
+
μ
∗
(
T
)
{\displaystyle \mu ^{*}(S\cup T)=\mu ^{*}(S)+\mu ^{*}(T)}
B
(
X
)
⊆
M
(
μ
∗
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}
. 즉, 모든 보렐 집합 은
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라
(
X
,
B
(
X
)
,
μ
∗
|
B
(
X
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X),\mu ^{*}|_{{\mathcal {B}}(X)})}
는 측도 공간 을 이루지만, 이는 완비 측도 공간 일 필요가 없다.)[3] :140, §7.14.x, Theorem 7.14.29
모든 열린집합 은
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
-카라테오도리 가측 집합이다.
거리 공간
(
X
,
d
X
)
{\displaystyle (X,d_{X})}
위의 거리 외측도
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수 와 하반연속 함수
(
X
,
M
(
μ
∗
)
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
는 가측 함수 이다.[4] :53, Property 2. 2
집합
X
{\displaystyle X}
속의 집합 반환 은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족
S
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
이다.
∅
∈
S
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}
(이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의
S
,
T
∈
S
{\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}}
에 대하여,
S
∩
T
∈
S
{\displaystyle S\cap T\in {\mathcal {S}}}
임의의
S
,
T
∈
S
{\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}}
에 대하여,
S
∖
T
=
⋃
F
{\displaystyle \textstyle S\setminus T=\bigcup {\mathcal {F}}}
인 유한 개의 서로소 집합 들의 족
F
⊆
S
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}
(
|
F
|
<
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}}
)이 존재한다.
집합
X
{\displaystyle X}
속의 집합 반환
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수
μ
:
S
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
μ
{\displaystyle \mu }
를
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
위의 준측도 (準測度, 영어 : premeasure )라고 한다.[1] :20, §1.3.1, Definition 1.3.2 [2] :170, §11, Problem 11.2
(가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합
T
⊆
S
{\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}
(
|
T
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}}
)에 대하여, 만약
⋃
T
∈
S
{\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}
이라면,
μ
(
⋃
T
)
=
∑
μ
(
T
)
{\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})}
. (특히,
T
=
∅
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing }
을 생각하면
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu (\varnothing )=0}
을 얻는다.)
다음 두 조건을 만족시킨다.
(유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합
T
⊆
S
{\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}
(
|
T
|
<
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {T}}|<\aleph _{0}}
)에 대하여, 만약
⋃
T
∈
S
{\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}
이라면,
μ
(
⋃
T
)
=
∑
μ
(
T
)
{\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})}
. (특히,
T
=
∅
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing }
을 생각하면
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu (\varnothing )=0}
을 얻는다.)
(가산 준가법성) 임의의 가산 집합
T
⊆
S
{\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}
(
|
T
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}}
)에 대하여, 만약
⋃
T
∈
S
{\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}
이라면,
μ
(
⋃
T
)
≤
∑
μ
(
T
)
{\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)\leq \sum \mu ({\mathcal {T}})}
집합
X
{\displaystyle X}
속의 집합족
S
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
σ
(
S
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}
가
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
로 생성된 최소의 시그마 대수 라고 하자.
다음이 주어졌다고 하자.
집합
X
{\displaystyle X}
집합 반환
S
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
준측도
μ
:
S
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]}
이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.
μ
∗
:
P
(
X
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}
μ
∗
:
A
↦
inf
{
∑
μ
(
T
)
:
T
⊆
S
,
|
T
|
≤
ℵ
0
,
A
⊆
⋃
T
}
{\displaystyle \mu ^{*}\colon A\mapsto \inf \left\{\sum \mu ({\mathcal {T}})\colon {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\;|{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0},\;A\subseteq \bigcup {\mathcal {T}}\right\}}
카라테오도리 확장 정리 에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}}
는
X
{\displaystyle X}
위의 외측도이다.
σ
(
S
)
⊆
M
(
μ
∗
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}
μ
∗
|
S
=
μ
{\displaystyle \mu ^{*}|_{\mathcal {S}}=\mu }
만약
X
=
⋃
T
{\displaystyle \textstyle X=\bigcup {\mathcal {T}}}
이며
∞
∉
μ
(
T
)
{\displaystyle \infty \not \in \mu ({\mathcal {T}})}
인 가산 집합
T
⊆
S
{\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}
(
|
T
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}}
)이 존재한다면,
μ
∗
|
σ
(
S
)
{\displaystyle \mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})}}
는
(
μ
∗
|
σ
(
S
)
)
|
S
=
μ
{\displaystyle (\mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})})|_{\mathcal {S}}=\mu }
를 만족시키는 유일한
σ
(
S
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}
위의 측도 이다.
그러나
σ
(
S
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}
보다 큰 시그마 대수 위에서
μ
{\displaystyle \mu }
의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.
실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
위에서, 구간들의 족
S
1
=
{
(
a
,
b
]
}
−
∞
≤
a
≤
b
<
∞
∪
{
(
a
,
∞
)
}
−
∞
≤
a
<
∞
⊆
P
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}=\{(a,b]\}_{-\infty \leq a\leq b<\infty }\cup \{(a,\infty )\}_{-\infty \leq a<\infty }\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}
은 집합 반환 을 이루며,
R
∈
S
{\displaystyle \mathbb {R} \in {\mathcal {S}}}
이다. 또한,
σ
(
S
)
=
B
(
R
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}
이다.
임의의 증가 함수
F
:
R
→
R
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
μ
F
:
S
1
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu _{F}\colon {\mathcal {S}}_{1}\to [0,\infty ]}
μ
F
:
(
a
,
b
]
↦
F
(
b
+
)
−
F
(
a
+
)
{\displaystyle \mu _{F}\colon (a,b]\mapsto F(b^{+})-F(a^{+})}
μ
F
:
(
a
,
∞
)
↦
F
(
∞
)
−
F
(
a
+
)
{\displaystyle \mu _{F}\colon (a,\infty )\mapsto F(\infty )-F(a^{+})}
그렇다면,
μ
F
{\displaystyle \mu _{F}}
는
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
위의 준측도를 이룬다.[1] :33-34, §1.5, Problem 1.22–1.23 이 경우
(
R
,
M
(
μ
F
∗
)
,
μ
F
∗
|
M
(
μ
F
∗
)
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})}
(또는
(
R
,
B
(
R
)
,
μ
F
∗
|
B
(
R
)
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )})}
)를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다.
자명하게
μ
F
{\displaystyle \mu _{F}}
는
μ
F
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu _{F}(\varnothing )=0}
과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합
S
⊆
Σ
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma _{0}}
(
|
S
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}}
)
이 주어졌고,
⋃
S
∈
Σ
0
{\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma _{0}}
이라고 하자. 편의상
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
의 모든 원소가 유계 구간이며,
⋃
S
=
(
a
~
,
∞
)
{\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=({\widetilde {a}},\infty )}
a
~
∈
R
{\displaystyle {\widetilde {a}}\in \mathbb {R} }
F
(
∞
)
<
∞
{\displaystyle F(\infty )<\infty }
라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의
[
a
,
b
]
⊆
(
a
~
,
∞
)
{\displaystyle [a,b]\subseteq ({\widetilde {a}},\infty )}
및
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여,
∑
(
c
,
d
]
∈
S
ϵ
(
c
,
d
]
=
ϵ
{\displaystyle \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\epsilon _{(c,d]}=\epsilon }
인
ϵ
(
c
,
d
]
>
0
{\displaystyle \epsilon _{(c,d]}>0}
을 취하자. 그렇다면
x
↦
F
(
x
+
)
{\displaystyle x\mapsto F(x^{+})}
가 우연속 함수 임에 따라
F
(
e
(
c
,
d
]
+
)
<
F
(
d
+
)
+
ϵ
(
c
,
d
]
∀
(
c
,
d
]
∈
S
{\displaystyle F({e_{(c,d]}}^{+})<F(d^{+})+\epsilon _{(c,d]}\qquad \forall (c,d]\in {\mathcal {S}}}
인
e
(
c
,
d
]
>
d
{\displaystyle e_{(c,d]}>d}
가 존재한다.
{
(
c
,
e
(
c
,
d
]
)
}
(
c
,
d
]
∈
S
{\displaystyle \{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}}
는
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
의 열린 덮개 를 이루며, 하이네-보렐 정리 에 의하여 이는 유한 부분 덮개
{
(
c
,
e
(
c
,
d
]
)
}
(
c
,
d
]
∈
F
{\displaystyle \{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {F}}}}
F
⊆
S
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}
|
F
|
<
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}}
를 갖는다. 따라서
μ
F
(
(
a
,
b
]
)
=
F
(
b
+
)
−
F
(
a
+
)
≤
∑
(
c
,
d
]
∈
F
(
F
(
e
(
c
,
d
]
+
)
−
F
(
c
+
)
)
≤
∑
(
c
,
d
]
∈
S
(
F
(
e
(
c
,
d
]
+
)
−
F
(
c
+
)
)
≤
∑
(
c
,
d
]
∈
S
(
F
(
d
+
)
−
F
(
c
+
)
)
+
ϵ
=
∑
(
c
,
d
]
∈
S
μ
F
(
(
c
,
d
]
)
+
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{F}((a,b])&=F(b^{+})-F(a^{+})\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {F}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F(d^{+})-F(c^{+}))+\epsilon \\&=\sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])+\epsilon \end{aligned}}}
이다. 여기서 첫 번째 부등호는
sup
{
e
(
c
n
,
d
n
]
:
n
∈
Z
+
,
(
c
1
,
d
1
]
,
…
,
(
c
n
,
d
n
]
∈
F
,
a
∈
(
c
1
,
e
(
c
1
,
d
1
]
)
,
e
(
c
i
,
d
i
]
∈
(
c
i
+
1
,
e
(
c
i
+
1
,
d
i
+
1
]
)
∀
i
∈
{
1
,
…
,
n
−
1
}
}
>
b
{\displaystyle \sup\{e_{(c_{n},d_{n}]}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+},\;(c_{1},d_{1}],\dots ,(c_{n},d_{n}]\in {\mathcal {F}},\;a\in (c_{1},e_{(c_{1},d_{1}]}),\;e_{(c_{i},d_{i}]}\in (c_{i+1},e_{(c_{i+1},d_{i+1}]})\forall i\in \{1,\dots ,n-1\}\}>b}
때문이다. 여기에
ϵ
→
0
{\displaystyle \epsilon \to 0}
을 취하면
μ
F
(
(
a
,
b
]
)
≤
∑
(
c
,
d
]
∈
S
μ
F
(
(
c
,
d
]
)
{\displaystyle \mu _{F}((a,b])\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])}
를 얻으며, 다시
a
→
a
~
{\displaystyle a\to {\widetilde {a}}}
및
b
→
∞
{\displaystyle b\to \infty }
를 취하면
x
↦
F
(
x
+
)
{\displaystyle x\mapsto F(x^{+})}
의 우연속성에 따라
μ
F
(
(
a
~
,
∞
)
)
≤
∑
(
c
,
d
]
∈
S
μ
F
(
(
c
,
d
]
)
{\displaystyle \mu _{F}(({\widetilde {a}},\infty ))\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])}
를 얻는다.
임의의
a
1
,
b
1
∈
R
{\displaystyle a_{1},b_{1}\in \mathbb {R} }
에 대하여, 선형 연산자
Δ
n
,
a
1
,
b
1
:
R
R
n
→
R
R
n
−
1
{\displaystyle \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n-1}}}
Δ
n
,
a
1
,
b
1
:
F
↦
F
(
b
1
,
⋅
)
−
F
(
a
1
,
⋅
)
{\displaystyle \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon F\mapsto F(b_{1},\cdot )-F(a_{1},\cdot )}
를 정의하자.
또한, 임의의
a
,
b
∈
R
n
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}
에 대하여,
Δ
a
,
b
=
Δ
1
,
a
n
,
b
n
∘
Δ
2
,
a
n
−
1
,
b
n
−
1
∘
⋯
∘
Δ
n
,
a
1
,
b
1
:
R
R
n
→
R
{\displaystyle \Delta _{a,b}=\Delta _{1,a_{n},b_{n}}\circ \Delta _{2,a_{n-1},b_{n-1}}\circ \cdots \circ \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to \mathbb {R} }
라고 하자.
함수
F
:
R
n
→
R
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
Δ
a
,
b
F
≥
0
(
a
i
≤
b
i
)
{\displaystyle \Delta _{a,b}F\geq 0\qquad (a_{i}\leq b_{i})}
가 주어졌을 때, 집합 반환
S
n
=
{
∏
i
=
1
n
S
i
:
S
i
∈
S
1
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}=\left\{\prod _{i=1}^{n}S_{i}\colon S_{i}\in {\mathcal {S}}_{1}\right\}}
R
n
∈
S
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\in {\mathcal {S}}_{n}}
σ
(
S
n
)
=
B
(
R
n
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}}_{n})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}
위에 준측도
μ
F
:
∏
i
=
1
n
(
a
i
,
b
i
]
↦
lim
δ
i
,
ϵ
i
→
0
+
Δ
a
+
δ
,
b
+
ϵ
F
{\displaystyle \mu _{F}\colon \prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\mapsto \lim _{\delta _{i},\epsilon _{i}\to 0^{+}}\Delta _{a+\delta ,b+\epsilon }F}
를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간
(
R
n
,
M
(
μ
F
∗
)
,
μ
F
∗
|
M
(
μ
F
∗
)
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})}
을 구성할 수 있다.
함수
F
:
R
→
R
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
F
:
x
↦
x
{\displaystyle F\colon x\mapsto x}
또는
F
:
R
n
→
R
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
F
:
x
↦
x
1
x
2
⋯
x
n
{\displaystyle F\colon x\mapsto x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}
에 대한 르베그-스틸티어스 외측도 를 르베그 외측도 라고 하며, 이에 대응하는 측도 를 르베그 측도 라고 한다.
하우스도르프 외측도 는 거리 외측도이다.[3] :1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30