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아핀 사상

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대수기하학에서, 아핀 사상(affine寫像, 영어: affine morphism)은 모든 아핀 열린집합원상아핀 열린집합스킴 사상이다. 아핀 스킴의 개념의 상대화(相對化)이다.

정의

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스킴 , 사이의 스킴 사상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상아핀 사상이라고 한다.

  • 의 임의의 아핀 열린집합 에 대하여, 열린집합 역시 아핀 스킴이다.[1]:128, Exercise II.5.17(a)
  • 모든 -원상아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 들로 구성된 덮개 가 존재한다.[1]:128, Exercise II.5.17

성질

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다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre affine性條件, 영어: Serre’s criterion of affineness)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]

  • 는 아핀 사상이다.
  • 준연접층 범주 사이의 직상 함자 완전 함자이다.

특히, 일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

연산에 대한 닫힘

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유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 , , 및 아핀 사상 스킴 사상 에 대하여, 에 대한 올곱 를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 역시 아핀 사상이다.

함의 관계

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모든 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이다. 모든 유한 사상은 아핀 사상이다.

분리 사상
준콤팩트 함수 아핀 사상 유한 사상 닫힌 몰입

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아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 스킴 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 아핀 스킴이다. 즉, 가환환 가 존재한다.
  • 유일한 스킴 사상 가 아핀 사상이다.

참고 문헌

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  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. ÉGA II 5.2.2, ÉGA IV 1.7.17

외부 링크

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