아핀 사상

대수기하학에서, 아핀 사상(affine寫像, 영어: affine morphism)은 모든 아핀 열린집합의 원상이 아핀 열린집합인 스킴 사상이다. 아핀 스킴의 개념의 상대화(相對化)이다.

정의

두 스킴 $X$ , $Y$ 사이의 스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 아핀 사상이라고 한다.

$Y$ 의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname {Spec} R\cong U\subseteq Y$ 에 대하여, 열린집합 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 역시 아핀 스킴이다.^[1]^{:128, Exercise II.5.17(a)}
모든 $f$ -원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 $U_{i}\subseteq Y$ 들로 구성된 $Y$ 의 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$ 가 존재한다.^[1]^{:128, Exercise II.5.17}

성질

다음이 주어졌다고 하자.

분리 스킴 $X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$
스킴 $Y$
준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre affine性條件, 영어: Serre’s criterion of affineness)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

$f$ 는 아핀 사상이다.
준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_{*}\colon \operatorname {QCoh} (X)\to \operatorname {QCoh} (Y)$ 는 완전 함자이다.

특히, $Y=\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ 일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

아핀 스킴이다.
위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 ${\mathcal {F}}\in \operatorname {QCoh} (X)$ 에 대하여, $\forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \operatorname {H} ^{i}(X;{\mathcal {F}})=0$ 이다.

연산에 대한 닫힘

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 $X$ , $Y$ , $Z$ 및 아핀 사상 $f\colon X\to Y$ 및 스킴 사상 $g\colon Z\to Y$ 에 대하여, $(f,g)$ 에 대한 올곱 $X_{Y}Z$ 를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 $\pi _{Z}\colon X\times _{Y}Z\to Z$ 역시 아핀 사상이다.