대수학에서 비에트 정리(영어: Viète’s theorem) 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. 16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트에 의해 공식이 증명되었다.
음이 아닌 정수
에 대하여,
차 복소수 다항식
![{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {C} [x]\qquad (a_{i}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55119f79f34345e648d286560db08eb1197f1f0)
이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면)
개의 영점
를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각
에 대하여, 영점
을
차 기본 대칭 다항식에 대입한 값은
과 같다.
![{\displaystyle \sum _{i\in \{1,\dots ,n\}^{k}}^{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8d357a5f7143b8cf354eef1c10f2d710f23d59)
즉, 다음
개의 등식이 성립한다.
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846ac9426484c5ed35f22764986d9bb9cd29b325)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526eb7c8c0848b700ee8a635627107eeada6cb46)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle (x_{1}\cdots x_{n-1})+(x_{1}\cdots x_{n-2}x_{n})+\cdots +(x_{2}\cdots x_{n})=(-1)^{n-1}{\frac {a_{1}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7223caff2e352810cdfeb7d48fd4e33a5e1aac42)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8bdc6e328c9797480eaa026d53920c55985953)
다음 등식 양끝의 다항식의 각
의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}\\={}&p(x)\\={}&a_{n}(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})\\={}&a_{n}(x^{n}-(x_{1}+\cdots +x_{n})x^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}x_{1}\cdots x_{n})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc331c7588f76feeed6b642aa5c91d826960a897)
(일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식
![{\displaystyle ax+b=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc62b70752a751554a00c396fefd75813a084a7d)
은 유일한 복소수 해
![{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18083ca602ea9ac28cf373400e7e65e3764008d3)
를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.
(이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e70cfa003f402d108ec04d97983fb62f69536e)
의 (중복도를 감안한) 복소수 근을
라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62332ad46f539c2a729aed1059d4b5f1cb0c4b1a)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ecc35163f24f6a2347f6a0460a719b3b718d19)
(삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6a382654ad8c94dc3bfea84bf4a869ab5c68cb)
의 (중복도를 감안한) 복소수 근을
이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c40f513a868dd028ee2f1a21b52015fd0ffad9)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81883db2cd1c9f5ae6a48d77363c807288e64814)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a042cd857383d9fcfa5fee66845bdc6622f072)
(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식
![{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccc13a4502686dfb9946be432f7ecaabb03fd90)
의 (중복도를 감안한) 복소수 근을
라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d843e5dc48241597dddf5c1e196f1c7d99fe81f)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae213204aba65d659e6c0c4c48e906752534bf20)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8451c762df86e5f9f34e80c3e27116f4db20d3ab)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1674cd26e1c6e53061009cc318285596d24928d)
프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다.[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.[2]