범주론에서 밂(영어: pushout 푸시아웃[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 쌍대곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올쌍대곱(영어: fibered coproduct)이라고 불린다.
어떤 범주에서 대상
및 사상
![{\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8b39702c91d10e4dc384738787b6768d1fb5f)
이 주어졌을 때,
와
의 밂
는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상
및 사상
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle p_{1}\\Y&{\xrightarrow[{p_{2}}]{}}&P\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b08e431090e6223e9ed64e7c6583180e7aa9d7)
이는 범주론적 쌍대극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상
및 사상
,
에 대하여, 만약
라면 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상
가 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow &\searrow \\Y&\to &P&&{}^{q_{1}}\\&\searrow &&\searrow ^{\exists !u}&\downarrow \\&&{}_{q_{2}}&\to &Q\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec91810dd3dddb4a2ed6961fd9d4ef16d855b5c)
만약
이며
일 경우,
의 밂은 쌍대핵쌍(雙對核雙,영어: cokernel pair)이라고 한다.
(유한) 쌍대곱과 쌍대동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 쌍대곱
![{\displaystyle X{\xrightarrow {\iota _{X}}}X\sqcup Y{\xleftarrow {\iota _{Y}}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5d387116a22af9b3f49bb3dca25b28b7ec1ffb)
이 주어졌을 때,
![{\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8b39702c91d10e4dc384738787b6768d1fb5f)
의 밂은
![{\displaystyle Z{\xrightarrow[{\iota _{Y}\circ g}]{\iota _{X}\circ f}}X\sqcup Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2750028698f17b67fc05e9e6ff44a8a254df82)
의 쌍대동등자이다. 반대로, 밂과 쌍대곱이 존재하는 범주에서는 쌍대동등자가 존재한다.
만약
가 끝 대상일 경우,
이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.
밂은 당김의 반대 개념이다. 즉, 범주
에서의 밂은 그 반대 범주
에서의 당김이며, 반대로
에서의 당김은
에서의 밂이다.
집합과 함수의 범주에서,
![{\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8b39702c91d10e4dc384738787b6768d1fb5f)
의 밂은 다음과 같은 몫집합이다.
![{\displaystyle X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa61d9064f47fcc5d7e33cbb94a6b6a88956e1b4)
![{\displaystyle x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af064f2a0dc5c23e8a95119be3e8b983973df245)
대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우는 완비 범주이자 쌍대완비 범주이므로, 밂이 항상 존재한다. 이 경우, 두 대수 구조
![{\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8b39702c91d10e4dc384738787b6768d1fb5f)
의 밂은
와
의 쌍대곱에서,
의 원소의 상들을 합치는 최소의 합동 관계에 대한 몫대수이다.
예를 들어, 군의 범주에서 밂은 융합된 자유곱라고 불린다.
위상 공간의 범주에서,
![{\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8b39702c91d10e4dc384738787b6768d1fb5f)
의 밂은 분리합집합
의 다음과 같은 몫공간이다.
![{\displaystyle X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa61d9064f47fcc5d7e33cbb94a6b6a88956e1b4)
![{\displaystyle x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af064f2a0dc5c23e8a95119be3e8b983973df245)
특수한 경우로, 만약
가 한원소 공간일 경우 이는 쐐기합이라고 불린다.