환론에서 모리타 문맥([森田]文脈, 영어: Morita context)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, 영어: Morita ring)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, 영어: triangular (matrix) ring)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.
환
와
사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:486; 503, Exercise §18.18
-쌍가군 ![{\displaystyle {}_{R}M_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227c0d1fb03bacb1453484dccf9eb5570fd6949c)
-쌍가군 ![{\displaystyle {}_{S}N_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720323b9149753fe77e73320409f4e39fb56e2f4)
-쌍가군 준동형 ![{\displaystyle \phi \colon {}_{R}(M\otimes _{S}N)_{R}\to {}_{R}R_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2218708e0cbc16d432453af491a5801e7a9b7ad3)
-쌍가군 준동형 ![{\displaystyle \psi \colon {}_{S}(N\otimes _{R}M)_{S}\to {}_{S}S_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f920d82adf024edc7512aefe8a89cdc1e6e10549)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle \operatorname {id} _{M}\otimes _{S}\psi =\phi \otimes _{R}\operatorname {id} _{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefb72531c782a864f49b61623497b28eab7ab5e)
![{\displaystyle \psi \otimes _{S}\operatorname {id} _{N}=\operatorname {id} _{M}\otimes _{R}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2664200929937ec6c8fed1652e8364a1878c199e)
모리타 문맥
이 주어졌을 때, 아벨 군
![{\displaystyle R\oplus M\oplus N\oplus S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9da5ba9ef237485641a2e5884726b6c5dcc4891)
위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 모리타 환(영어: Morita ring)이라고 한다.
![{\displaystyle (r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi (m\otimes _{S}n'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi (n\otimes _{R}m')\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea6a485c7dd885c0c0aa58c450cd7923bf47c66)
의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}r&m\\n&s\end{pmatrix}}\qquad (r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dad846ea81cde0083e8a1f03abbe19615ad02ab)
로 나타내며
와
를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3077877bb976c25258548005ec464dcbfcea676b)
로 표기한다.
특수한 경우로,
이며
,
는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환
은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다.[2]:16, Example 1.14[1]:503, Exercise §18.18 즉, 이는 아벨 군으로서 직합
이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.
![{\displaystyle (r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad (r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9432fcbe301d6ea4e02ac07d5847545541f80e)
삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.[3]:430, Theorem 6.4(c)[4] 모리타 문맥
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
는 환이다.
는 멱등원이다. 즉,
를 만족시킨다.
이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로,
가 주어졌을 때,
![{\displaystyle R=eTe}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4933c22cb1f032ebc91cc65c9c77f5e9712bc8b7)
![{\displaystyle S=(1-e)T(1-e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914908f35bb20c97cb81a568576efe8c6149d8bc)
![{\displaystyle M=eT(1-e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477d276e5444aa142359be35511628c4176ef92a)
![{\displaystyle N=(1-e)Te}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393b642a120ae4f76a7561e798f8ea30cb44acfa)
![{\displaystyle \phi \colon \left(eT(1-e)\otimes _{R}(1-e)Te\right)\to eTe}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15fbd1f453516df3cece9516b213382bff109713)
![{\displaystyle \phi \colon \left(et(1-e)\otimes _{R}(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e71fd62dfc6f5653605096225138243007e2097)
![{\displaystyle \psi \colon \left((1-e)Te\otimes _{S}eT(1-e)\right)\to (1-e)T(1-e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee31e88a0c613277d6d3ae9f9653b0081c511c2)
![{\displaystyle \psi \colon \left((1-e)te\otimes _{S}et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39728fd499cbb523d7becee69f62d5158ed4274f)
로 놓으면,
는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥
이 주어졌을 때,
![{\displaystyle T={\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a765920530bd4726a1cbf0d091e7685e41a92763)
![{\displaystyle e={\begin{pmatrix}1_{R}&0_{M}\\0_{N}&0_{S}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5b325e4c49498dc9f4de595552159d404cb01b)
로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.
특히, 만약
일 경우,
는 삼각환
을 정의한다.
모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.
모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주
위의 풍성한 범주)이다.[3]:430, Theorem 6.4(a) 이러한 준가법 범주
가 주어졌으며, 그 두 대상이
와
라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle R=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)=\hom _{\mathcal {C}}(X,X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b00fef1f5ed15fe85fa724793944c08a07a0e2)
![{\displaystyle S=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a92706764e32d54bcabf25837b7caac8e58f02a)
![{\displaystyle M=\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5303c7776b7cd6d388f0ca9da268f34c0fb26057)
![{\displaystyle N=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e675a2a578393a52831414c92b8f3ce53ed9f6c)
로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로)
와
는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해
은
-쌍가군,
은
-쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상
![{\displaystyle \phi \colon M\otimes _{S}N\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9c45c28d126030800bb0aa33b2ad6f741b33b9)
![{\displaystyle \psi \colon N\otimes _{S}M\to S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754bb626f85428dc04ba9421a4c0becab88cc948)
이 존재한다. 만약
일 경우 이는 삼각환을 정의한다.
2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주
속의 모리타 문맥
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[3]:424–425, Definition 5.1
와
는
의 대상(=0-사상)이다.
와
는
의 1-사상이다.
와
는
의 2-사상이다.
다음과 같은 쌍가군 2-범주
를 생각하자.
의 대상(=0-사상)은 환이다.
의 두 대상
,
사이의 1-사상은
-쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱
으로 주어진다.
의 두 대상
,
사이의 두 1-사상
,
사이의 2-사상은
-쌍가군 준동형
이다.
그렇다면, 2-범주
속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.
삼각환
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
은 가환환이다.
와
는 가환환이며,
이다.
환
와
및
-쌍가군
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환
의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(1)
![{\displaystyle N\oplus {\mathfrak {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9387117ccf1a131df87701841be9de4e1b10226a)
여기서
는
의 왼쪽 아이디얼이다.
은
의
-부분 가군이며,
이다.
마찬가지로, 삼각환
의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(2)
![{\displaystyle {\mathfrak {R}}\oplus N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06654fd983212d812749c81aed67b88f3a3e7da9)
여기서
는
의 오른쪽 아이디얼이다.
은
의
-부분 가군이며,
이다.
마찬가지로, 삼각환
의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(3)
![{\displaystyle {\mathfrak {r}}\oplus N\oplus {\mathfrak {s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bae5042bf1b47a0acac51a5cc60f7a8246e2f5)
여기서
는
의 양쪽 아이디얼이다.
는
의 양쪽 아이디얼이다.
은
의
-부분 쌍가군이며,
이자
이다.
삼각환
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22
은 왼쪽 뇌터 환이다.
와
는 왼쪽 뇌터 환이며,
은
-뇌터 가군이다.
삼각환
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22
은 오른쪽 뇌터 환이다.
와
는 오른쪽 뇌터 환이며,
은
-뇌터 가군이다.
삼각환
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22
은 왼쪽 아르틴 환이다.
와
는 왼쪽 아르틴 환이며,
은
-아르틴 가군이다.
삼각환
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22
은 오른쪽 아르틴 환이다.
와
는 오른쪽 아르틴 환이며,
은
-아르틴 가군이다.
만약
이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}R&0\\0&S\end{pmatrix}}\cong R\times S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5517b33dbf3c013156c15196557b361308e561cf)
만약
이며,
과
이
의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}R&{\mathfrak {m}}\\{\mathfrak {n}}&R\end{pmatrix}}\subseteq \operatorname {Mat} (2;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e5cffe3a602894cc6ca02c4469dd1676fdc11d)
은
계수 2×2 행렬환의 부분환이다.
환
위의 오른쪽 가군
가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.[1]:486
![{\displaystyle S=\hom(M_{R},M_{R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aef7bd47077f422c36703961a7c647a5da34169)
![{\displaystyle {}_{R}N_{S}=\hom({}_{S}M_{R},{}_{R}R_{R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83097b93af541fc7dd6594a92a90306d7225471c)
, ![{\displaystyle (m\otimes _{R}n)\mapsto (m'\mapsto mn(m'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f5c8418a7a17f4ad786b282fe905c3a3bfc960)
, ![{\displaystyle (n\otimes _{R}m)\mapsto n(m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9d1cc1ba4877bb15cb8c7e7fb42d099f273818)
이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약
가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주
의 생성 대상이라면, 이는
와
사이의 모리타 동치를 정의한다.
모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(영어: Morita context)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.[5][1]:460
- Loustaunau, Philippe; Shapiro, Jay (1990). 〈Morita contexts〉. 《Non-commutative ring theory. Proceedings of a conference held in Athens, Ohio, Sept. 29–30, 1989》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1448. 80–92쪽. doi:10.1007/BFb0091253.