리 대수 반직접합

리 대수 이론에서, 반직접합(半直接合, 영어: semidirect sum)은 두 리 대수의 직합 위에 정의되는 리 대수 구조이다. 이는 리 군의 반직접곱의 무한소 형태로 생각할 수 있다. 추상적으로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$K$ 위의 두 리 대수 ${\mathfrak {n}}$ , ${\mathfrak {h}}$
리 대수 준동형 $\psi \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {n}})$ $\psi \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {n}})$
- 여기서 ${\mathfrak {der}}(-)$ 는 미분 리 대수이다.

그렇다면, $K$ -가군 ${\mathfrak {n}}\oplus _{K}{\mathfrak {h}}$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 정의하자.

[h,n]=\psi (h)n\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;n\in {\mathfrak {n}}

[h,h']=[h,h']_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}

[n,n']=[n,n']_{\mathfrak {n}}\qquad \forall n,n'\in {\mathfrak {n}}

이를 ${\mathfrak {n}}$ 과 ${\mathfrak {h}}$ 의 $\psi$ 에 대한 반직접합이라고 하며, ${\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}$ 로 표기한다. 만약 $\psi$ 가 상수 함수 0이라면, 이는 리 대수의 직합과 같다.

성질

군의 반직접곱과 마찬가지로, 리 대수의 반직접합에 대하여 분할 완전열

0\to {\mathfrak {n}}\to {\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\to 0

이 존재한다. 즉, ${\mathfrak {n}}$ 은 ${\mathfrak {h}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {n}}$ 의 리 대수 아이디얼을 이룬다.

반대로, 리 대수의 짧은 완전열

0\to {\mathfrak {n}}\to {\mathfrak {g}}\,{\overset {\pi }{\to }}\,{\mathfrak {h}}\to 0

가 주어졌을 때, 만약 이 완전열이 오른쪽 분할 완전열이라면 (즉, $\pi \circ \sigma =\operatorname {id} _{\mathfrak {h}}$ 가 되는 리 대수 준동형 $\sigma \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}$ 가 존재한다면), 이를 통해