확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다.
독립 사건 집합[편집]
확률 공간
위의 사건들의 집합
가 다음 조건을 만족시킨다면,
가 서로 독립이라고 한다.
- 모든 유한 집합
에 대하여,
![{\displaystyle \Pr(S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n})=\Pr(S_{1})\Pr(S_{2})\cdots \Pr(S_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b24158e95b336ebe6ab4ff1f2cb39b4380c2332)
독립 사건 시그마 대수 집합[편집]
확률 공간
위의,
의 부분 시그마 대수들의 집합
이 다음 성질을 만족시킬 경우,
가 서로 독립이라고 한다.
- 모든 유한 집합
및
(
)에 대하여, ![{\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3861b49bff489c7c15dadad965d0990bb2492e)
사건의 집합
에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.
는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서
는
를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.
독립 확률 변수 집합[편집]
같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합
![{\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )\to (S_{i},{\mathcal {G}}_{i})\qquad (i\in I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1c43c31a3232dc36496d75722ff920c22c12d1)
에 대하여, 시그마 대수
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{X_{i}^{-1}(T)\colon T\in {\mathcal {G}}_{i}\}\subset {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7e5e05cd8894601aa90187bfa1e3cd49cb03cc)
를 정의할 수 있다. 만약
가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합
이 서로 독립이라고 한다.
확률 공간
위의 π계의 집합
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 서로 독립이다.
- 모든 유한 집합
및
(
)에 대하여, ![{\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3861b49bff489c7c15dadad965d0990bb2492e)
확률 공간
위의 시그마 대수의 집합
및
의 분할
에 대하여, 만약
가 서로 독립이라면,
![{\displaystyle \left\{\sigma \left(\bigcup {\mathfrak {G}}_{i}\right)\colon i\in I\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7185993f404b1eba6e4720ef985d5282a6135d48)
역시 서로 독립이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]