데데킨트-하세 노름

수학, 특히 추상 대수학 연구에서 데데킨트-하세 노름은 유클리드 정역에 대한 유클리드 함수의 개념을 일반화하는 정역에 대한 함수이다.

정의

$R$이 정역이라 하자. $g:R\rightarrow \mathbb {Z} _{\geq 0}$은 $R$에서 음이 아닌 정수로 가는 함수이다. $0_{R}$로 $R$의 덧셈 항등식을 나타낸다. 함수 $g$는 다음 세 가지 조건이 충족되는 경우 $R$에 대한 데데킨트-하세 노름이라고 한다.

• $g(a)=0$와 $a=0_{R}$는 동치이다.
• $R$에서 0이 아닌 원소 $a,b$에 대해 다음 중 하나가 성립한다.
  • $R$에서 $b|a$.
  • $\exists x,y\in R\;s.t.0<g(xa-yb)<g(b)$.

세 번째 조건은 유클리드 정역 문서에 정의된 대로 유클리드 함수의 조건(EF1)을 약간 일반화한 것이다. x 의 값이 항상 1로 취해질 수 있다면 $g$는 유클리드 함수가 되고 $R$은 따라서 유클리드 정역이 된다.

정역과 주 이데알 정역

데데킨트-하세 노름의 개념은 리하르트 데데킨트와 나중에 헬무트 하세에 의해 독립적으로 정의되었다. 그들은 둘 다 그것이 정역을 주 이데알 정역으로 바꾸는 데 필요한 구조의 추가 조건이라는 것을 정확히 알아차렸다. 즉, 정역 $R$이 데데킨트-하세 노름을 갖는 경우 $R$이 주 이데알 정역임을 증명했다. 정역이 주 이데알 정역임과 정역이 데데킨트-하세 노름을 가짐이 동치이다.

예

$K$를 체로 두고 다항식 환 $K[X]$를 고려하자. 0이 아닌 다항식 $p$를 $2^{\mathrm {deg} (p)}$에 사상하는 이 영역의 함수 $g$ (여기서$\mathrm {deg} (p)$는 $p$의 위수이고 0 다항식을 0에 사상함)는 $K[X]$에 대한 데데킨트-하세 노름이다. 처음 두 조건은 $g$의 정의에 의해 간단하게 충족되는 반면, 세 번째 조건은 다항식 장제법을 사용하여 증명할 수 있다.

참조

• R. Sivaramakrishnan, Certain number-theoretic episodes in algebra, CRC Press, 2006.

외부 링크

• “Dedekind–Hasse valuation”. 《PlanetMath》 (영어).