추상대수학에서, 대응 정리(영어: correspondence theorem)는[1][2][3][4][5][6][7][8] 또는 제4 동형 정리(영어: fourth isomorphism theorem)[9] 또는 격자 정리(영어: lattice theorem)는 몫 대수 구조의 합동 관계들을 묘사하는 정리이다.
대수 구조
와 그 위의 합동 관계
가 주어졌다고 하자. 대응 정리에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.[10]:49, Theorem 6.20
- 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자
![{\displaystyle \operatorname {Cong} (A/{\sim })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c9e8a01fac34b24495cb1afba0dd1171466ce9)
의 합동 관계들 가운데,
에 의하여 함의되는 것들의 격자
. 이는
의 합동 관계 격자
의 부분 격자를 이룬다.
두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle \mathop {\uparrow } {\sim }\to \operatorname {Cong} (A/{\sim })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf2233872cae4b9b335186bf72a0294250846e6)
![{\displaystyle {\sim }'\mapsto {\sim }'/{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6f5a19985aa355a690e2ee7a701a8c2a705049)
여기서
은 다음과 같은
위의 이항 관계다.
![{\displaystyle [a]_{\sim }\mathrel {{\sim }'/{\sim }} [b]_{\sim }\iff a\sim 'b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e21b3a443f749d2f04464166534f7511757a4)
즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
- 만약
이
을 포함하는
위의 합동 관계라면,
은
위의 합동 관계이다.
위의 모든 합동 관계는 어떤
을 포함하는
위의 합동 관계
에 대하여
의 꼴로 나타낼 수 있다.
을 포함하는
위의 합동 관계
에 대하여, 다음이 성립한다.
가
를 함의하는 것과
는
를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
. 여기서
는
과
로 생성되는 합동 관계이다.
. 여기서
는
로 정의된다.
대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.
군
및 정규 부분군
에 대하여,
을 포함하는
의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수
![{\displaystyle \mathop {\uparrow } N=\{H\leq G\colon N\subseteq H\}\to \operatorname {Sub} (A/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db070d33f80cda9e978ffc77a75daa19e986e51b)
![{\displaystyle H\mapsto H/N=\{hN\colon h\in H\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5a910fac9e405972def88e6cad6d23801a45e2)
를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
은 격자의 동형 사상이다. 즉,
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle H/N\leq G/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7193761f0becfb5290a7f0d44b1a354b0d1c3b)
- 임의의
에 대하여,
인
가 존재한다.
- 임의의
에 대하여,
일 필요충분조건은
이다.
. 여기서
는
로 생성된 부분군이다.
![{\displaystyle (H\cap K)/N=H/N\cap K/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9627186223243716ae470add50c452f5236d7ce)
일 필요충분조건은
이다.
환
및 아이디얼
에 대하여,
를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수
![{\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathfrak {a}}=\{S\in \operatorname {Sub} (R)\colon {\mathfrak {a}}\subset S\}\to \operatorname {Sub} (R/{\mathfrak {a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b368a741342435f64f1f8b4bd9f776bed7795a8e)
![{\displaystyle S\mapsto S/{\mathfrak {a}}=\{s+{\mathfrak {a}}\colon s\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4585528b892d68f504da8ca0aff54d23b62a3fa)
를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
는 격자의 동형 사상이다. 즉,
- 임의의 부분환
에 대하여,
는
의 부분환이다.
- 임의의 부분환
에 대하여,
인 부분환
가 존재한다.
- 임의의 부분환
에 대하여,
일 필요충분조건은
이다.
. 여기서
는
로 생성된 부분환이다.
![{\displaystyle (S\cap T)/{\mathfrak {a}}=S/{\mathfrak {a}}\cap T/{\mathfrak {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e9046444d86fa9db7e272f2782a22d744f3ce1)
가
의 아이디얼일 필요충분조건은
가
의 아이디얼인 것이다.
환
위의 왼쪽 가군
및 부분 가군
에 대하여,
을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수
![{\displaystyle \mathop {\uparrow } N=\{N'\in \operatorname {Sub} (M)\colon N\subset N'\}\to \operatorname {Sub} (M/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b21e26c5e07ffcb4d22f5e3a197299f134cb4c)
![{\displaystyle N'\mapsto N'/N=\{m+N\colon m\in N'\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33572d35c4a6edfae0b42f34e8bb97e9b6eab4c)
는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.
- 임의의 부분 가군
에 대하여,
는
의 부분 가군이다.
- 임의의 부분 가군
에 대하여,
인 부분 가군
가 존재한다.
- 임의의 부분 가군
에 대하여,
일 필요충분조건은
이다.
![{\displaystyle (N'+N'')/N=N'/N+N''/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/457a56fef8c1e1b89fda9555a233660c42d87d60)
![{\displaystyle (N'\cap N'')/N=N'/N\cap N''/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d404201c35b552861a6c72cbbf24907a0ecdb8ed)
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]