나폴레옹 정리

나폴레옹 정리 도해

기하학에서 나폴레옹 정리(Napoléon定理, 영어: Napoleon theorem)는 주어진 삼각형의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 정삼각형의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다.

정의

삼각형 $ABC$의 외측에서 삼각형 $E_{A}BC$, $E_{B}CA$, $E_{C}AB$가 정삼각형이 되게 만드는 점 $E_{A}$, $E_{B}$, $E_{C}$를 잡고 (예를 들어 $E_{A}$는 $BC$에 대하여 $A$의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형 $E_{A}BC$, $E_{B}CA$, $E_{C}AB$의 무게 중심을 각각 $N_{A}$, $N_{B}$, $N_{C}$라고 하자. 마찬가지로, 삼각형 $ABC$의 내측에서 삼각형 $E_{A}'BC$, $E_{B}'AC$, $E_{C}'AB$가 정삼각형이 되게 만드는 점 $E_{A}'$, $E_{B}'$, $E_{C}'$를 잡고 (예를 들어 $E_{A}'$는 $BC$에 대하여 $A$와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형 $E_{A}'BC$, $E_{B}'AC$, $E_{C}'AB$의 무게 중심을 각각 $N_{A}'$, $N_{B}'$, $N_{C}'$라고 하자. 나폴레옹 정리에 따르면, 삼각형 $N_{A}N_{B}N_{C}$와 $N_{A}'N_{B}'N_{C}'$은 모두 정삼각형이다.

삼각형 $N_{A}N_{B}N_{C}$를 삼각형 $ABC$의 외측 나폴레옹 삼각형(外側Napoléon三角形, 영어: outer Napoleon triangle)이라고 하고, 삼각형 $N_{A}'N_{B}'N_{C}'$를 삼각형 $ABC$의 내측 나폴레옹 삼각형(內側Napoléon三角形, 영어: inner Napoleon triangle)이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

역사

1825년에 영국의 수학자 윌리엄 러더퍼드(영어: William Rutherford)가 《레이디스 다이어리》(영어: The Ladies' Diary)의 〈새로운 수학 문제〉(영어: New Mathematical Questions)란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.^:495

프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.^:497

증명

다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다.

닮음을 통한 증명

외측 나폴레옹 삼각형 $N_{A}N_{B}N_{C}$의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자. $N_{A}N_{B}$와 $N_{A}N_{C}$에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 내심은 일치하므로, $N_{A}$, $N_{B}$, $N_{C}$는 각각 정삼각형 $E_{A}BC$, $E_{B}CA$, $E_{C}AB$의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히

$\angle N_{A}CB=30^{\circ }=\angle N_{B}CA$

이며, 양변에 $\angle ACB$를 더하면

$\angle N_{A}CA=\angle N_{B}CB$

를 얻는다. 또한

$N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}C,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}AC$

이므로, 삼각형 $N_{A}N_{B}C$와 $E_{A}AC$는 서로 닮음이다. 다시 말해, 삼각형 $N_{A}N_{B}C$를 $C$를 중심으로 30도 회전한 뒤 $C$를 중심으로 하고 $1/{\sqrt {3}}$를 비로 하는 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 $E_{A}AC$를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 $N_{A}N_{C}B$와 $E_{A}AB$ 역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시 $1/{\sqrt {3}}$이다. 따라서

$N_{A}N_{B}={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}A=N_{A}N_{C}$

가 성립한다.

외접원을 통한 증명

우선 삼각형 $E_{A}BC$, $E_{B}CA$, $E_{C}AB$의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자.^{:61-63, §3.3} 편의상 삼각형 $E_{A}BC$, $E_{B}CA$의 외접원의 $C$가 아닌 교점을 $P$라고 하자. 편의상 $P$가 $BC$, $AC$에 대하여 각각 $A$, $B$와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면

$\angle BPC=180^{\circ }-\angle BE_{A}C=120^{\circ }$

$\angle APC=180^{\circ }-\angle AE_{B}C=120^{\circ }$

이므로

$\angle APB=360^{\circ }-\angle BPC-\angle APC=120^{\circ }=180^{\circ }-\angle E_{C}AB$

이며, $P$는 삼각형 $E_{C}AB$의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다.

이제 외측 나폴레옹 삼각형 $N_{A}N_{B}N_{C}$의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상 $\angle N_{B}N_{A}N_{C}$에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형 $E_{A}BC$와 $E_{B}CA$의 외접원의 중심선 $N_{A}N_{B}$는 공통현 $PC$의 수직 이등분선이다. 마찬가지로 삼각형 $E_{A}BC$와 $E_{C}AB$의 외접원의 중심선 $N_{A}N_{C}$ 역시 공통현 $PB$의 수직 이등분선이다. 따라서

$\angle N_{B}N_{A}N_{C}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-\angle BPC=60^{\circ }$

이다.

삼각법적 증명

외측 나폴레옹 삼각형 $N_{A}N_{B}N_{C}$의 변 $N_{A}N_{B}$의 길이를 원래 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이 $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 대칭 함수라면 남은 두 변 $N_{B}N_{C}$, $N_{C}N_{A}$의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형 $N_{A}N_{B}C$에서

$\angle N_{A}CN_{B}=C+60^{\circ }$

$N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}a,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}b$

이므로, 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

${\begin{aligned}{N_{A}N_{B}}^{2}&=N_{A}C^{2}+N_{B}C^{2}-2\cdot N_{A}C\cdot N_{B}C\cdot \cos \angle N_{A}CN_{B}\\&={\frac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C+60^{\circ }))\\&={\frac {1}{3}}\left(a^{2}+b^{2}-ab\cos C+{\sqrt {3}}ab\sin C\right)\\&={\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S)\end{aligned}}$

여기서 $S$는 삼각형 $ABC$의 넓이이다. 마지막 함수는 $a$, $b$, $c$의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.

나폴레옹 삼각형의 성질

변의 길이와 넓이

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 길이를 $a$, $b$, $c$라고 하고, 넓이를 $S$라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형 $N_{A}N_{B}N_{C}$, $N_{A}'N_{B}'N_{C}'$의 변의 길이는

$N_{A}N_{B}=N_{B}N_{C}=N_{C}N_{A}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{6}}}$

$N_{A}'N_{B}'=N_{B}'N_{C}'=N_{C}'N_{A}'={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{6}}}$

이며, 넓이는

$S_{\triangle N_{A}N_{B}N_{C}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}$

$S_{\triangle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}$

이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.^{:64, Theorem 3.38}

무게 중심

삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심은 같다.^{:65, §3.3, Exercise 4} 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다.

증명:^{:178-179, §5F}

삼각형 $ABC$의 무게 중심을 $G$라고 하자. 편의상 삼각형 $ABC$의 꼭짓점이 시개 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형 $ABC$의 평면 위의 벡터들에 대한 변환 $T$가 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시킨다고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점 $X$, $Y$에 대하여

${\overrightarrow {XY}}$

와

$T({\overrightarrow {XY}})$

사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면 $T$는 선형 변환이다. 삼각형 $E_{A}BC$는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로

${\overrightarrow {CE_{A}}}=T({\overrightarrow {CB}})$

이며, 또한 $N_{A}$은 삼각형 $E_{A}BC$의 무게 중심이므로

${\begin{aligned}{\overrightarrow {0}}&={\overrightarrow {N_{A}E_{A}}}+{\overrightarrow {N_{A}B}}+{\overrightarrow {N_{A}C}}\\&={\overrightarrow {N_{A}C}}+{\overrightarrow {CE_{A}}}+{\overrightarrow {N_{A}B}}+{\overrightarrow {N_{A}C}}\\&={\overrightarrow {N_{A}B}}+2{\overrightarrow {N_{A}C}}+T({\overrightarrow {CB}})\end{aligned}}$

이다. 마찬가지로,

${\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {N_{B}C}}+2{\overrightarrow {N_{B}A}}+T({\overrightarrow {AC}})$

${\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {N_{C}A}}+2{\overrightarrow {N_{C}B}}+T({\overrightarrow {BA}})$

가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면

${\begin{aligned}{\overrightarrow {0}}&={\overrightarrow {N_{A}B}}+2{\overrightarrow {N_{A}C}}+{\overrightarrow {N_{B}C}}+2{\overrightarrow {N_{B}A}}+{\overrightarrow {N_{C}A}}+2{\overrightarrow {N_{C}B}}\\&=3({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}})-3({\overrightarrow {GN_{A}}}+{\overrightarrow {GN_{B}}}+{\overrightarrow {GN_{C}}})\\&=-3({\overrightarrow {GN_{A}}}+{\overrightarrow {GN_{B}}}+{\overrightarrow {GN_{C}}})\end{aligned}}$

를 얻는다. 즉, $G$는 외측 나폴레옹 삼각형 $N_{A}N_{B}N_{C}$의 무게 중심이다.

일반화

삼각형 $ABC$의 외측에서

$P+Q+R=180^{\circ }$

를 만족시키는 점 $P$, $Q$, $R$를 잡자. 그렇다면, 삼각형 $PBC$, $AQC$, $ABR$의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형 $PBC$, $AQC$, $ABR$가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다.

삼각형 $ABC$의 외측에서 삼각형 $PBC$, $AQC$, $ABR$가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점 $P$, $Q$, $R$를 잡고, 삼각형 $PBC$, $AQC$, $ABR$의 무게 중심을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하자. 그렇다면, 삼각형 $DEF$는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형 $PBC$, $AQC$, $ABR$가 정삼각형인 특수한 경우이다.

같이 보기

• 나폴레옹의 문제
• 몰리 삼등분 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Napoleon's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer Napoleon triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner Napoleon triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer Napoleon circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner Napoleon circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “First Napoleon point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Napoleon point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Bogomolny, Alexander. “Napoleon’s theorem”. 《Cut the Knot》 (영어).