유한한 높이의 원기둥은 2차원 경계다양체를 이루며, 그 경계는 두 개의 원으로 구성된다.
미분기하학에서 경계다양체(境界多樣體, 영어: manifold-with-boundary)는 국소적으로 유클리드 공간 또는 유클리드 반(半)공간에 위상 동형인 위상 공간이다. 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 "경계"를 가질 수 있다.
일부 문헌에서는 경계다양체의 개념을 단순히 "다양체"로 부르고, 다양체의 개념을 "경계 없는 다양체"로 부른다.
임의의 자연수
에 대하여, 유클리드 공간
및 유클리드 반(半)공간
을 정의할 수 있다.
임의의 양의 정수
에 대하여,
차원 경계다양체(영어:
-dimensional manifold-with-boundary)는 다음 조건을 만족시키는 하우스도르프 파라콤팩트 공간
이다.
- 임의의
에 대하여,
의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방
가 존재한다.
차원 경계다양체
의 경계(境界, 영어: boundary)
는 다음 조건을 만족시키는 점들로 구성되는 부분 집합이다.
- 임의의
에 대하여,
의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방
이 존재하지 않는다.
이에 따라,
는
차원 다양체를 이루며,
는
차원 다양체를 이룬다.
차원 경계다양체
위의 국소 좌표계(영어: atlas)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 열린집합들의 족
![{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e19fc9e6317dca261a077df0afcfa1dbf5cfe73)
- 각
에 대하여, 단사 연속 함수
. 또한,
는
와
사이의 위상 동형을 정의한다.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의
에 대하여, 만약
이라면,
는 매끄러운 함수이다.
국소 좌표계가 주어진 경계다양체를 매끄러운 경계다양체(영어: smooth manifold-with-boundary)라고 한다. 서로 호환되는 두 국소 좌표계는 같은 매끄러운 경계다양체를 정의한다.
임의의
차원 경계다양체
가 주어졌을 때, 분리합집합
![{\displaystyle X\sqcup X=X\times \{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8e1eaf965fa21e8603a50b091674bc2e9b46ab)
에 다음과 같은 동치 관계를 주자.
![{\displaystyle (x,0)\sim (x,1)\qquad (\forall x\in \partial X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bf3534b177e632cfe25825495e5a050f295173)
그렇다면, 몫공간
![{\displaystyle {\tilde {X}}=(X\sqcup X)/\sim }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120d5981591af0d8475c71966f051b473a071e89)
은 항상
차원 다양체를 이루며, 자연스러운 사상
![{\displaystyle {\tilde {X}}\twoheadrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0a2eece540cb2d6a5aad729751fbb5467a4b67)
이 존재한다. 이 경우,
를
의 이중 다양체(二重多樣體, 영어: double manifold)이라고 한다.
만약
가 매끄러운 경계다양체라면, 그 이중 다양체는 항상 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다.
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
- 다양체 ⇒ 경계다양체 ⇒ 오비폴드
즉, 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는 오비폴드이다. 이름과 달리 다양체가 아닌 경계다양체가 존재한다.
모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 매끄러운 다양체는 매끄러운 경계다양체이다.
유클리드 공간
속의 닫힌 공
![{\displaystyle \operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} (\mathbf {x} ,r)\right)\qquad (\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},\;r\in \mathbb {R} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c6ad521c5ec376f215625d499c2e86d4b40591)
은 자연스럽게
차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는
차원 초구이다. 이는 다양체를 이루지 않는다.
특히,
일 때, 닫힌구간은 항상 경계다양체를 이룬다. 닫힌구간
의 경계는 양끝점
이다.