경계다양체

유한한 높이의 원기둥은 2차원 경계다양체를 이루며, 그 경계는 두 개의 원으로 구성된다.

미분기하학에서 경계다양체(境界多樣體, 영어: manifold-with-boundary)는 국소적으로 유클리드 공간 또는 유클리드 반(半)공간에 위상 동형인 위상 공간이다. 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 "경계"를 가질 수 있다.

일부 문헌에서는 경계다양체의 개념을 단순히 "다양체"로 부르고, 다양체의 개념을 "경계 없는 다양체"로 부른다.

정의

임의의 자연수 $n$에 대하여, 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 및 유클리드 반(半)공간 $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$을 정의할 수 있다.

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$차원 경계다양체(영어: $n$-dimensional manifold-with-boundary)는 다음 조건을 만족시키는 하우스도르프 파라콤팩트 공간 $X$이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 $x\in U\subseteq X$가 존재한다.

$n$차원 경계다양체 $X$의 경계(境界, 영어: boundary) $\partial X\subseteq X$는 다음 조건을 만족시키는 점들로 구성되는 부분 집합이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 $x\in U\subseteq X$이 존재하지 않는다.

이에 따라, $X\setminus \partial X$는 $n$차원 다양체를 이루며, $\partial X$는 $n-1$차원 다양체를 이룬다.

매끄러운 경계다양체

$n$차원 경계다양체 $X$ 위의 국소 좌표계(영어: atlas)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 열린집합들의 족 $(U_{i})_{i\in I}$
• 각 $i\in I$에 대하여, 단사 연속 함수 $\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$. 또한, $\phi _{i}$는 $U_{i}$와 $\phi _{i}(U_{i})$ 사이의 위상 동형을 정의한다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing$이라면, $\phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$는 매끄러운 함수이다.

국소 좌표계가 주어진 경계다양체를 매끄러운 경계다양체(영어: smooth manifold-with-boundary)라고 한다. 서로 호환되는 두 국소 좌표계는 같은 매끄러운 경계다양체를 정의한다.

이중 다양체

임의의 $n$차원 경계다양체 $X$가 주어졌을 때, 분리합집합

$X\sqcup X=X\times \{0,1\}$

에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

$(x,0)\sim (x,1)\qquad (\forall x\in \partial X)$

그렇다면, 몫공간

${\tilde {X}}=(X\sqcup X)/\sim$

은 항상 $n$차원 다양체를 이루며, 자연스러운 사상

${\tilde {X}}\twoheadrightarrow X$

이 존재한다. 이 경우, ${\tilde {X}}$를 $X$의 이중 다양체(二重多樣體, 영어: double manifold)이라고 한다.

만약 $X$가 매끄러운 경계다양체라면, 그 이중 다양체는 항상 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

다양체 ⇒ 경계다양체 ⇒ 오비폴드

즉, 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는 오비폴드이다. 이름과 달리 다양체가 아닌 경계다양체가 존재한다.

예

모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 매끄러운 다양체는 매끄러운 경계다양체이다.

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 속의 닫힌 공

$\operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} (\mathbf {x} ,r)\right)\qquad (\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},\;r\in \mathbb {R} ^{+})$

은 자연스럽게 $n$차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는 $n-1$차원 초구이다. 이는 다양체를 이루지 않는다.

특히, $n=1$일 때, 닫힌구간은 항상 경계다양체를 이룬다. 닫힌구간 $[a,b]$의 경계는 양끝점 $\{a,b\}$이다.

외부 링크

• “Manifold with boundary”. 《nLab》 (영어). 
• “Boundary”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition of “manifold””. 《Manifold Atlas》 (영어).