회전수

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위상수학에서, 회전수(回轉數, 영어: rotation number)는 원의 자기 위상 동형을 분류하는 불변량이다. 대략, 원에 대한 시간당 평균 회전 각도이다.

정의[편집]

실직선의 자기 위상 동형 가 다음을 만족시킨다고 하자.

이라고 하자. 그렇다면, 회전수 는 다음과 같다.

여기서

이다. 이 극한은 항상 존재하며, 에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다.

의 주기성으로 인하여, 이로부터 방향을 보존하는 자기 위상 동형 을 정의할 수 있다. 이 경우, 회전수 의 회전수와 같다. 이 경우, 는 같은 에 대응하지만 회전수가 정수 만큼 다르므로, 의 회전수는 의 원소이다. 예를 들어, 이다.

성질[편집]

회전수 는 원의 방향 보존 자기 위상 동형들의 군 에서 원군 으로 가는 군 준동형이다. 만약 위상을 주어 위상군으로 만들면, 회전수는 연속 함수이다.

원의 두 방향 보존 자기 위상 동형 연속 함수 에 대하여, 만약

라면

이다.

원의 자기 위상 동형의 분류[편집]

앙리 푸앵카레아르노 당주아는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 들을 다음과 같이 분류하였다.

  • 1. 만약 의 회전수가 유리수 라면 (), 는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, 의 모든 주기적 궤도의 주기는 이다. 또한, 의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, 에서 수렴하는 주기적 궤도와 에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.)
  • 2. 만약 의 회전수가 무리수라면, 는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.
    • 2(a). 는 적어도 하나의 조밀 궤도를 갖는다. 이 경우, 인 방향 보존 위상 동형 이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다.
    • 2(b). 의 모든 궤도는 조밀하지 않다. 이 경우, 칸토어 집합 가 존재한다. 이 경우, 의 모든 궤도는 에 수렴하며, 마찬가지로 의 모든 궤도 역시 에 수렴한다. 이 경우, 가 되는 연속 함수 가 존재하며, 의 각 연결 성분 위에서 상수 함수이다.

또한, 만약 함수라면 항상 1이거나 2(a)에 해당한다. (이는 아르노 당주아가 증명하였다.)

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]