회전수

위상수학에서 회전수(回轉數, 영어: rotation number)는 원의 자기 위상 동형을 분류하는 불변량이다. 대략, 원에 대한 시간당 평균 회전 각도이다.

정의[편집]

실직선의 자기 위상 동형 $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 가 다음을 만족시킨다고 하자.

F(x+n)=F(x)+n\qquad \forall n\in \mathbb {N}

이라고 하자. 그렇다면, $F$ 의 회전수 $\omega (F)$ 는 다음과 같다.

\omega (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}\in \mathbb {R}

여기서

F^{n}=\overbrace {F\circ \cdots \circ F} ^{n}

이다. 이 극한은 항상 존재하며, $x\in \mathbb {R}$ 에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다.

$F$ 의 주기성으로 인하여, 이로부터 원의 방향을 보존하는 자기 위상 동형 $f\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ 을 정의할 수 있다. 이 경우, $f$ 의 회전수 $\omega (f)\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 는 $F$ 의 회전수와 같다. 이 경우, $F$ 와 $n+F$ 는 같은 $f$ 에 대응하지만 회전수가 정수 $n$ 만큼 다르므로, $f$ 의 회전수는 $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 의 원소이다. 예를 들어, $\omega (x\mapsto x+\theta )=\theta$ 이다.

성질[편집]

회전수 $\omega$ 는 원의 방향 보존 자기 위상 동형들의 군 $\operatorname {Homeo} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})$ 에서 원군 $\mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 으로 가는 군 준동형이다. 만약 $\operatorname {Homeo} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})$ 에 ${\mathcal {C}}^{0}$ 위상을 주어 위상군으로 만들면, 회전수는 연속 함수이다.

원의 두 방향 보존 자기 위상 동형 $f,g\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ 및 연속 함수 $h\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ 에 대하여, 만약

h\circ f=g\circ h

라면

\omega (f)=\omega (g)

이다.

원의 자기 위상 동형의 분류[편집]

앙리 푸앵카레와 아르노 당주아는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 $f$ 들을 다음과 같이 분류하였다.

1. 만약 $f$ 의 회전수가 유리수 $\omega (f)=p/q$ 라면 ( $\gcd\{p,q\}=1$ ), $f$ 는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, $f$ 의 모든 주기적 궤도의 주기는 $q$ 이다. 또한, $f$ 의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, $f$ 에서 수렴하는 주기적 궤도와 $f^{-1}$ 에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.)
2. 만약 $f$ $f$ 의 회전수가 무리수라면, $f$ $f$ 는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.
- 2(a). $f$ 는 적어도 하나의 조밀 궤도를 갖는다. 이 경우, $f=g\circ (x\mapsto x+\omega (f))\circ g^{-1}$ 인 방향 보존 위상 동형 $g\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ 이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다.
- 2(b). $f$ 의 모든 궤도는 조밀하지 않다. 이 경우, $f(C)=C$ 인 칸토어 집합 $C\subset \mathbb {S} ^{1}$ 가 존재한다. 이 경우, $f$ 의 모든 궤도는 $C$ 에 수렴하며, 마찬가지로 $f^{-1}$ 의 모든 궤도 역시 $C$ 에 수렴한다. 이 경우, $h\circ f=(x\mapsto x+\omega (f))\circ h$ 가 되는 연속 함수 $h\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ 가 존재하며, $h$ 는 $\mathbb {S} ^{1}\setminus C$ 의 각 연결 성분 위에서 상수 함수이다.