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해다양체

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미분위상수학에서 해다양체(解多樣體, 영어: solvmanifold)는 가해 리 군몫공간으로 얻어지는 동차공간이다.

정의

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매끄러운 다양체 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 매끄러운 다양체를 해다양체라고 한다.

성질

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모든 해다양체는 콤팩트 해다양체 위의 벡터 다발미분 동형이다. (이는 조지 모스토가 추측하였고,[1] 루이스 오슬랜더(영어: Louis Auslander)와 리처드 톨미에리(영어: Richard Tomlieri)가 1970년에 증명하였다.[2])

같은 기본군을 갖는 콤팩트 해다양체는 서로 미분 동형이다. 군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 인 해다양체 이 존재한다.
  • 자유 아벨 군의, 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군에 대한 확대이다. 즉, 이 되는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군 및 자연수 가 존재한다.

특히, 해다양체의 기본군다순환군(영어: polycyclic group)이다.

모든 해다양체는 비구형 공간(영어: aspherical space)이다. 즉, 해다양체 의 모든 2차 이상 호모토피 군자명군이다.

콤팩트 동차공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]

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멱영 리 군가해 리 군이므로, 모든 영다양체는 해다양체이다. 특히, 모든 원환면은 해다양체이다.

클라인 병은 영다양체가 아닌 해다양체이다. 뫼비우스 띠는 비콤팩트 해다양체의 예이며, 이는 (자명하게 해다양체인) 위의 자명하지 않은 실수 선다발이다.

2차원 푸앵카레 군 은 3차원 가해 리 대수이며, 콤팩트 몫공간을 갖는다. 이 몫공간들은 콤팩트 해다양체의 예이다. 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하들 가운데 하나이다.

참고 문헌

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  1. Mostow, George (1953년 2월 9일). “Factor Spaces of Solvable Groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 82: 689–697. doi:10.2307/1969700. JSTOR 1969700. 
  2. Auslander, Louis; Tolmieri, Richard (1970년 7월). “Splitting theorems and the structure of solvmanifolds”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 92 (1): 164-173. doi:10.2307/1970700. JSTOR 1970700. 
  3. Горбацевич, В. В. (1977). “О группах Ли, транзитивных на компактных солвмногообразиях”. 《Известия академии наук СССР. Серия математическая》 (러시아어) 41: 285–307. 
  • Auslander, Louis (1973). “An exposition of the structure of solvmanifolds. Part I: algebraic theory”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 79 (2): 227–261. doi:10.1090/S0002-9904-1973-13134-9. 
  • Auslander, Louis (1973). “An exposition of the structure of solvmanifolds. Part II: G-induced flows”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 79 (2): 262–285. doi:10.1090/S0002-9904-1973-13139-8. 

외부 링크

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같이 보기

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