프톨레마이오스 정리

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프톨레마이오스 정리 도해

프톨레마이오스 정리(Ptolemy's theorem, -定理) 또는 톨레미의 정리는 고대 그리스천문학자이자 수학자였던 클라우디오스 프톨레마이오스의 이름이 붙은 기하학정리이다. 도형을 다루는 초등적인 기하학에서 자주 사용되는데, 에 내접하는 임의의 사각형 ABCD에 대하여 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

  • |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|.

이 역도 성립한다. 즉, 이상의 등식을 만족하는 사각형 ABCD는 원에 내접하게 된다. 또 프톨레마이오스 정리를 일반화한 정리로 케이시의 정리가 있다.

증명[편집]

프톨레마이오스 정리에 대해서는 수많은 증명 방법이 개발되어 있다. 여기서는 그 중 가장 간단한 기하학적 증명법을 소개한다.

증명 도해
  1. ABCD를 원에 내접하는 사각형이라 하자. 그러면, 원주각의 성질에 의해 ∠BAC = ∠BDC 와 ∠ADB = ∠ACB 가 성립한다.
  2. 선분 AC 위에 ∠ABK = ∠CBD 를 만족하도록 새로운 점 K를 잡자. 그러면 ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD 이 된다.
  3. 그러면, △ABK는 △DBC와 닮음이고, △ABD와 △KBC 역시 닮음이므로 AK/AB = CD/BD, CK/BC = DA/BD가 성립한다.
  4. 따라서 AK·BD = AB·CD와 CK·BD = BC·DA도 성립한다.
  5. 이 두 식을 단순히 더해서 AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA를 얻는다. 정리하면 (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA이 된다.
  6. 그런데 AK+CK = AC이므로, AC·BD = AB·CD + BC·DA.

엄밀히 말해 이상의 증명은 2의 조건을 만족하는 K를 AC 위에 잡을 수 있는 경우에만 적용 가능한 증명이다. 이상과 같이 K를 잡는 것이 불가능한 경우에는 K를 AC의 연장선상에 놓고 유사한 논리로 증명하면 된다.

프톨레마이오스 부등식[편집]

일반적으로, 사각형 ABCD에 대해서 다음과 같은 부등식이 성립한다.

  • |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}| \le |\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|.

이를 프톨레마이오스 부등식(Ptolemy's inequality, -不等式)이라 하는데, 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 ABCD가 원에 내접하는 것이다. 따라서 프톨레마이오스 정리는 이 부등식의 특수한 경우가 된다.

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