프톨레마이오스 정리

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원에 내접하는 사각형과 두 대각선
프톨레마이오스 정리의 도해

기하학에서, 프톨레마이오스 정리(Ptolemaeus定理, 영어: Ptolemy's theorem) 또는 톨레미 정리(Ptolemy定理)는 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.

정의[편집]

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 에 대하여, 다음이 성립한다.

이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.

증명[편집]

삼각형의 닮음을 통한 증명[편집]

사각형의 내접원과 두 대각선에 같은 각과 닮은 삼각형을 같은 색으로 표시한 도해
삼각형의 닮음을 통한 증명의 도해

사각형 의 내접원의 호 원주각의 성질에 의하여 이고 이다. 선분 위에서 를 만족시키는 점 를 잡자. 그러면 이다. 따라서, 삼각형 는 닮음이고, 삼각형 역시 닮음이므로,

가 성립한다. 이므로

이다.

반전을 통한 증명[편집]

사각형의 내접원과 이를 내부에 포함하는 반전원, 그리고 내접원에 반전을 가하여 얻은 직선
반전을 통한 증명의 도해

중심이 단위원에 대한 반전에 대한 의 상을 이라고 하자. 그러면 은 서로 다른 공선점이며, 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여

이며, 이므로,

가 성립한다.

따름정리[편집]

삼각 함수 항등식[편집]

프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.[1]:309, Historical note 10.9.2.1 즉, 내접 사각형 의 대각선 가 내접원의 중심 를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 이고 라고 하자. 그러면

이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여

가 성립한다.

프톨레마이오스 정리의 역[편집]

프톨레마이오스 정리의 또한 성립한다. 즉, 사각형

를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.

프톨레마이오스 부등식[편집]

프톨레마이오스 부등식(Ptolemaeus不等式, 영어: Ptolemy's inequality)에 따르면, 임의의 사각형 에 대하여, 다음이 성립한다.

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 내접 사각형이다.

보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:309, Proposition 10.9.2

  • 다음 가운데 하나가 성립한다.
  • 공원점이거나 공선점이다.

역사[편집]

고대 그리스천문학자이자 수학자클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.[1]:309, Historical note 10.9.2.1

각주[편집]

  1. Berger, Marcel (1987). 《Geometry》. Universitext (영어) 1. 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. 

외부 링크[편집]