아핀 변환

아핀 기하학에서, 아핀 변환(-變換, 영어: affine transformation)은 공선점을 공선점으로 보내는 두 아핀 공간 사이의 함수이다.

정의

체 $K$ 위의 두 아핀 공간 $A$, $A'$ 사이의 함수 $F\colon A\to A'$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $F$를 아핀 변환이라고 한다.

• $V(A)\to V(A')$, $b-a\mapsto F(b)-F(a)$가 선형 변환이 되는 $a\in A$가 존재한다. (여기서 $V(-)$는 평행 이동의 벡터 공간이다.)
• 임의의 $a\in A$에 대하여, $V(A)\to V(A')$, $b-a\mapsto F(b)-F(a)$는 선형 변환이다.

아핀 변환 $F\colon A\to A'$로부터 유도되는 위와 같은 선형 변환 $\phi (F)\colon V(A)\to V(A')$은 $a\in A$의 선택과 무관하며, 임의의 $a,b\in A$에 대하여,

$F(b)=F(a)+\phi (F)(b-a)$

가 성립한다. 이는 $\phi (F)$를 ${\overrightarrow {F}}$로 표기할 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\overrightarrow {F}}({\overrightarrow {ab}})={\overrightarrow {F(a)F(b)}}$

성질

기하학적 성질

전단사 아핀 변환은 다음과 같은 성질들을 보존한다.

• 직선
• 단순비
• 평행선

그러나 전단사 아핀 변환은 일반적으로 각도나 직선의 방향, 두 점 사이의 거리를 보존하지 않는다. 또한 초부피를 보존하지 않지만, 주어진 전단사 아핀 변환이 초부피를 변화시키는 비율은 일정하며, 이는 선형 변환 성분의 행렬식의 절댓값과 같다.

대수적 성질

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$, $A'$ 사이의 아핀 변환의 집합 $\operatorname {Hom} _{K}(A,A')$은 새로운 아핀 공간을 이룬다. 이에 대한 평행 이동의 벡터 공간은

$V(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=\operatorname {Hom} _{K}(A,V(A'))$

이며, 차원은

$\dim(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=(\dim A+1)\dim A'$

이다.

아핀 변환 $F\colon A\to A'$ 및 $G\colon A'\to A''$에 대하여, 합성 $G\circ F\colon A\to A''$ 역시 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환 $F\colon A\to A'$에 대하여, 역함수 $F^{-1}\colon A'\to A$ 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 $A$ 위의 전단사 아핀 변환은 군을 이루며, 이를 $A$의 아핀 군 $\operatorname {Aff} (A)$라고 한다. 주어진 점 $a\in A$에 대하여, 아핀 군 $\operatorname {Aff} (A)$는 평행 이동의 군과 $a$를 고정점으로 하는 전단사 아핀 변환의 군의 반직접곱이다. 후자는 일반 선형군 $\operatorname {GL} (V(A))$와 동형이므로, 다음이 성립한다.

$\operatorname {Aff} (A)=V(A)\rtimes \operatorname {GL} (V(A))$

예

다음과 같은 함수들은 모두 아핀 변환이다.

• 유클리드 공간의 등거리 변환
• 중심 닮음 변환

참고문헌

• Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939. 
• Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939. 
• Gallier, Jean (2011). 《Geometric Methods and Applications》. Texts in Applied Mathematics (영어) 38 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0. ISBN 978-1-4419-9960-3. ISSN 0939-2475. LCCN 2011929342. 

외부 링크

• “Affine transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Affine transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.