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모든 순환군은 [[유한 생성 아벨 군]]이다. |
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군 <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. |
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군 <math>G</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다. |
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* <math>|G|</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다. |
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* <math>|G|</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다. |
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* <math>G</math>는 순환 [[단순군]]이다. |
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* <math>G</math>는 순환 [[단순군]]이다. |
군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의하여 생성되는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. (가법군의 경우, 모든 원소는 어떤 고정 원소의 정수배이다.)
정의
군의 원소 가 생성하는 순환군 은 다음과 같다.
위수
군 의 위수(位數, 영어: order) 는 집합의 크기이다.
군의 원소 의 위수 는 그 원소가 생성하는 순환군의 위수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
지수
군 의 지수(指數, 영어: exponent) 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
분류
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 몫군과 동형이다.
성질
위수와 지수
약수 관계
군의 유한 위수 원소 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 이다.
- (⇒) 이라면, 과 의 나머지 있는 나눗셈을 라고 하면, 이므로, 위수의 정의에 따라 이다. 즉, 이다.
지수가 유한한 군 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 임의의 에 대하여,
- (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 임의의 에 대하여, 이다.
- (⇒) 임의의 에 대하여 이라면, 임의의 에 대하여 이므로, 지수의 정의에 따라 이다.
유한군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
군의 유한 위수 원소 및 정규 부분군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
항등식
군의 유한 위수 원소 및 정수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
-
- 증명:
-
- 증명: 이므로, 이므로, 이므로,
군의 원소 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
반대로, 군의 원소 의 위수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 가 존재한다.
유한 아벨 군 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
- 임의의 에 대하여,
즉, 에 대하여, 다음이 성립한다.
순환군
모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.
군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 는 소수이다.
- 는 순환 단순군이다.
- 는 아벨 단순군이다.
순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
순환군의 몫군 역시 순환군이다.
유한군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 순환군이다.
- 임의의 에 대하여, 이다.
순환군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- (⇐)
- (⇒) 만약 이라면,
코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 에 대하여, 인 가 존재한다.
응용
유한 아벨 군의 분해
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. 가 아벨 유한 p-군, 가 그 최대 위수 원소라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다.
이제 와 가 가 가장 작은 반례라고 하자. (1의 경우 반례가 아님이 자명하다.) 그렇다면, 최소 위수 원소 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
-
- 증명: 그렇지 않다면, ()이며, 이므로, 이다. ()이라고 하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 따라서, 이며, 인데, 이는 의 선택과 모순이다.
-
- 증명: ()라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재하며, 이다. 이는 모순이다.
- 은 최대 위수 원소이다.
- 증명: 우선 이다. 라고 가정하면, 이므로, 이다. 이는 모순이다.
- 인 가 존재한다.
- 증명:
-
- 증명: 우선, 이므로, 이다. 또한, 이므로, 이며, 이다.
외부 링크