쉴로브 정리

군론에서 쉴로브 정리(영어: Sylow theorems) 또는 실로우 정리는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.

정의

소수 $p$가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수가 $p$의 거듭제곱인 군이다. 쉴로브 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 극대 p-부분군이다. 즉, 군 $G$의 p-부분군 $H$가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 p-부분군이라고 한다.

• 임의의 p-부분군 $K\subseteq G$에 대하여, 만약 $H\subseteq K$라면, $K=G$ 또는 $K=H$이다.

쉴로브 p-부분군의 집합을 $\operatorname {Syl} (p;G)$로 표기하자.

유한군 $G$와 소수 $p$가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}$와 양의 정수 $m\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여

$|G|=p^{n}m$

이며 $p$와 $m$이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 $k\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.

• 제1 쉴로브 정리(영어: first Sylow theorem): 크기가 $p^{k}$인 $G$의 부분군이 존재한다.
• 제2 쉴로브 정리(영어: second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 p-부분군 $H\subseteq G$ 및 p-부분군 $K\subseteq G$에 대하여, $K\subseteq gHg^{-1}$인 $g\in G$가 존재한다. 특히, $G$의 모든 쉴로브 p-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 p-부분군의 크기는 $p^{n}$이다.
• 제3 쉴로브 정리(영어: third Sylow theorem): 크기가 $p^{k}$인 $G$의 부분군의 총수가 $n(p^{k};G)$이며 (특히 $n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|$), $H$가 $G$의 임의의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
  • $n(p^{k};G)\equiv 1{\pmod {p}}$
  • $n(p^{n};G)\mid m$
  • $n(p^{n};G)=|G:\operatorname {N} _{G}(H)|$. (여기서 $\operatorname {N} _{G}(-)$는 정규화 부분군이다.)

증명

다음은 $k=n$인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 $k$에 대한 경우에도 적용 가능하다.

제1 정리

켤레 작용을 통한 증명

크기가 $p^{n}$인 $G$의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 $|G|$에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. $\{g_{1},\dots ,g_{k}\}\subseteq G$가 한원소 집합이 아닌 $G$의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.

$|G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|}}$

이 경우 각 $i\in \{1,\dots ,k\}$에 대하여 $\operatorname {C} _{G}(g_{i})$는 $G$의 진부분군이다.

만약 $p^{n}$이 $|{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|$의 약수가 되는 $i\in \{1,\dots ,k\}$가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 $\operatorname {C} _{G}(g_{i})$는 $|H|=p^{n}$인 부분군 $H$를 가지며, 이는 자명하게 $G$의 부분군이다.

이제, 임의의 $i\in \{1,\dots ,k\}$에 대하여, $p^{n}$이 $|{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|$의 약수가 아니라고 하자. $n=0$인 경우는 자명하다. 만약 $n>0$이라면, $p$는 $|{\operatorname {Z} (G)}|$의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 $\operatorname {Z} (G)$는 $|K|=p$인 부분군 $K$를 가지며, 이는 $G$의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 $G/K$는 크기가 $p^{n-1}$인 쉴로브 p-부분군 $H/K$를 가지며, 이 경우 $H$는 크기가 $p^{n}$인 $G$의 부분군이다.

빌런트의 증명

헬무트 빌런트(독일어: Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 $n>0$이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\mathcal {S}}=\{S\subseteq G\colon |S|=p^{n}\}$

이 위에 $G$는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.

$G\times {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$

$(g,S)\mapsto gS\qquad (g\in G,\;S\in {\mathcal {S}})$

이 작용의 궤도들의 대표원을 $\{S_{1},\dots ,S_{k}\}\subset {\mathcal {S}}$라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.

$|{\mathcal {S}}|=\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}$

또한

$|{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod _{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}$

은 $p$와 서로소이므로 (이는 각 $k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}$에 대하여 $p^{n}m-k$와 $p^{n}-k$의 소인수 $p$의 중복도가 $k$의 소인수 $p$의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 ${\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}$가 $p$와 서로소인 $i\in \{1,\dots ,k\}$가 존재한다. $S_{i}$의 안정자군을 $H=G_{S_{i}}$라고 하자. 그렇다면, $H$는 $G$의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 $|H|$는 $p^{n}$을 약수로 갖는다. 또한 $s\in S$에 대하여,

$H\to S$

$h\mapsto hs\qquad (h\in H)$

는 단사 함수이므로, $|H|=p^{n}$이다.

정규화 부분군을 통한 증명

임의의 쉴로브 p-부분군(즉, 극대 p-부분군) $H\subseteq G$에 대하여 $|H|=p^{n}$임을 보이는 것으로 족하다. $H$의 정규화 부분군 $\operatorname {N} _{G}(H)$를 생각하자. 그렇다면 $H$는 $\operatorname {N} _{G}(H)$의 정규 부분군이므로, 몫군 $\operatorname {N} _{G}(H)/H$를 취할 수 있다.

우선, $p$가 ${\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}$의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 $p$가 ${\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}$의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 $|K/H|=p$인 부분군 $K/H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)/H$가 존재한다. 이 경우 부분군 $H\subseteq K\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)$는 $G$의 부분군이며, $|K|=p|H|>|H|$를 만족시킨다. 이는 $H$가 쉴로브 p-부분군인 데 모순이다.

이제, $p$가 ${\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}$의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 $G/\operatorname {N} _{G}(H)$ 위에서 $H$가 다음과 같이 작용한다고 하자.

$H\times G/\operatorname {N} _{G}(H)\to G/\operatorname {N} _{G}(H)$

$(h,g\operatorname {N} _{G}(H))\mapsto hg\operatorname {N} _{G}(H)\qquad (h\in H,\;g\in G)$

그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.

${\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}\equiv |\{g\operatorname {N} _{G}(H)\in G/\operatorname {N} _{G}(H)\colon Hg\operatorname {N} _{G}(H)=g\operatorname {N} _{G}(H)\}|{\pmod {p}}$

따라서, $\operatorname {N} _{G}(H)$가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 $g\in G$가 임의의 $h\in H$에 대하여

$hg\operatorname {N} _{G}(H)=g\operatorname {N} _{G}(H)$

를 만족시킨다면, $g^{-1}hg\in \operatorname {N} _{G}(H)$이며, $H$는 p-군이므로 $h$의 위수는 $p$의 거듭제곱이다. 따라서 $g^{-1}hgH$의 ($\operatorname {N} _{G}(H)/H$에서의) 위수 역시 $p$의 거듭제곱이며, 또한 이는 ${\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}$의 약수이므로, $g^{-1}hgH$의 위수는 1이다. 즉, $g^{-1}hgH=H$이며, $g^{-1}hg\in H$이다. 즉, $g\in \operatorname {N} _{G}(H)$가 성립한다.

이 두 가지 사실을 종합하면 $|H|=p^{n}$을 얻는다. 이는

$|G|={\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}\cdot {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}\cdot |H|$

때문이다.

제2 정리

왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명

크기가 $|H|=p^{n}$인 쉴로브 p-부분군 $H\subseteq G$를 취하자. 임의의 p-부분군 $K\subseteq G$에 대하여, $K\subseteq gHg^{-1}$인 $g\in G$의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 $G/H$ 위에서 $K$가 다음과 같이 작용한다고 하자.

$K\times G/H\to G/H$

$(k,gH)\mapsto kgH\qquad (k\in K,\;g\in G)$

또한, $G/H$의 크기는 $p$와 서로소이므로, 궤도의 크기가 $p$와 서로소인 원소 $gH\in G/H$를 가지며, 이에 대한 안정자군은 $K$ 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.

$K=K_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_{H}g^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}$

이중 잉여류를 통한 증명

크기가 $|H|=p^{n}$인 쉴로브 p-부분군 $H\subseteq G$를 취하자. 임의의 p-부분군 $K\subseteq G$에 대하여, $K\subseteq gHg^{-1}$인 $g\in G$의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합

$K\backslash G/H=\{KgH\colon g\in G\}$

는 $G$의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다.

$|G|=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K||H|}{|K\cap gHg^{-1}|}}$

즉,

${\frac {|G|}{|H|}}=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}$

이다. 또한 ${\frac {|G|}{|H|}}$는 $p$와 서로소이므로, ${\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}$가 $p$와 서로소가 되는 $g\in G$가 존재한다. 즉, 이 $g$에 대하여

${\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}=1$

이다. 따라서,

$K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}$

이 성립한다.

제3 정리

켤레 작용을 통한 증명

쉴로브 p-부분군의 집합을 $\operatorname {Syl} (p;G)$라고 하고, 이 위의 켤레 작용

$G\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)$

$(g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad (g\in G,\;H\in \operatorname {Syl} (p;G))$

를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 $H\in \operatorname {Syl} (p;G)$에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 $\operatorname {N} _{G}(H)$이다. 따라서

$n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}$

이며, 이는

${\frac {|G|}{|H|}}=m$

의 약수이다.

이제, 임의의 $H\in \operatorname {Syl} (p;G)$에 제한된 켤레 작용

$H\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)$

$(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad (h\in H,\;K\in \operatorname {Syl} (p;G))$

를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식

$n(p^{n};G)\equiv |\{K\in \operatorname {Syl} (p;G)\colon \forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|{\pmod {p}}$

가 성립한다. 이제 $H$가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 $K\in \operatorname {Syl} (p;G)$가 임의의 $h\in H$에 대하여 $hKh^{-1}=K$를 만족시킨다면, $H\subseteq \operatorname {N} _{G}(K)$이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 $g\in \operatorname {N} _{G}(K)$가 존재한다.

$H=gKg^{-1}=K$

따라서, 합동식

$n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}$

가 성립한다.

빌런트의 증명

집합

${\mathcal {T}}=\{S\in {\mathcal {S}}\colon |G_{S}|=p^{n}\}$

을 생각하자. 그렇다면, ${\mathcal {T}}$는 정확히 다음과 같은 집합이다.

${\mathcal {T}}=\bigsqcup _{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in \operatorname {Syl} (p;G),\;g\in G\}$

여기서 $H\backslash G$는 $H$의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 p-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,

$|{\mathcal {T}}|=\sum _{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}{\frac {|G|}{|H|}}=n(p^{n};G)m$

이다.

임의의 $S\in {\mathcal {S}}$의 안정자군 $G_{S}$은 p-부분군이다. 이는 임의의 $s\in S$에 대하여, $G_{S}s\subseteq S$이므로, $S$가 $G_{S}$의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, ${\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}$의 원소들의 안정자군은 p-부분군이다. 또한, ${\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}$는 $G$의 작용에 대하여 닫혀있으므로, ${\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}$ 속 궤도들의 대표원 $\{S_{1},\dots ,S_{k}\}\subseteq {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}$를 취할 수 있으며, 이 경우

$|{\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}|=\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}\equiv 0{\pmod {pm}}$

가 성립한다.

또한,

$|{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod _{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}\equiv m{\pmod {pm}}$

가 성립한다. 이는 임의의 $k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}$에 대하여, $k$의 소인수 $p$의 중복도가 $e$라고 할 때,

$p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not \equiv 0{\pmod {p}}$

이기 때문이다.

이들 결론을 종합하면

$n(p^{n};G)m\equiv m{\pmod {pm}}$

을 얻으며, $m>0$이므로

$n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}$

가 성립한다.

쉴로브 부분군의 성질

유한군 $G$와 소수 $p$가 주어졌다고 하자.

연산에 대한 닫힘

만약 $H$가 $G$의 쉴로브 p-부분군이며, $N$이 $G$의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

• $H\cap N$은 $N$의 쉴로브 p-부분군이다.
• $HN/N$은 $G/N$의 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

$K$가 $N$의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 $K\subseteq gHg^{-1}$인 $g\in G$가 존재한다. 따라서

$K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1}$

이며,

$|H\cap N|\geq |K|$

이다. $H\cap N$은 $N$의 p-부분군이므로,

$|H\cap N|=|K|$

이며, $H\cap N$은 $N$의 쉴로브 p-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와

$|HN/N|={\frac {|H|}{|H\cap N|}}$

으로부터 유도된다.

충분 조건

만약 $H$가 $G$의 p-부분군이며, $H=\operatorname {N} _{G}(H)$라면, $H$는 $G$의 쉴로브 p-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

증명:

$H$가 $H$의 켤레 부분군의 집합

${\mathcal {S}}=\{gHg^{-1}\colon g\in G\}$

위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.

$H\times {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$

$(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad (h\in H,\;K\in {\mathcal {S}})$

그렇다면, 각 궤도의 크기는 $|H|$의 약수이며, 특히 $p$의 거듭제곱이다.

이제, $H$가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 $K\in {\mathcal {S}}$가 임의의 $h\in H$에 대하여 $hKh^{-1}=K$를 만족시킨다면, $K=gHg^{-1}$인 $g\in G$를 취하면

$H\subseteq \operatorname {N} _{G}(K)=g\operatorname {N} _{G}(H)g^{-1}=gHg^{-1}=K$

이므로, $K=H$이다.

따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여

$1\equiv |{\mathcal {S}}|={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}={\frac {|G|}{|H|}}{\pmod {p}}$

이며, 특히 $H$는 $G$의 쉴로브 p-부분군이다.

교집합

만약 $\operatorname {O} (p;G)$가 $G$의 모든 쉴로브 p-부분군의 교집합이라고 하면, $\operatorname {O} (p;G)$는 $G$의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 만약 $H$가 $G$의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, $n(p^{n};G)=1$이며, $H=\operatorname {O} (p;G)$는 $G$의 유일한 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

우선, $\operatorname {O} (p;G)$가 $G$의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 p-부분군 $H\subseteq G$에 대하여,

$\operatorname {O} (p;G)=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}=\operatorname {Core} _{G}(H)$

가 $H$의 정규핵이기 때문이다.

이제, $\operatorname {O} (p;G)$가 $G$의 모든 정규 p-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 p-부분군 $N\subseteq G$ 및 쉴로브 p-부분군 $H\subseteq G$에 대하여, $N\subseteq H$임을 보이면 된다. $NH$이 $G$의 부분군이며,

$|NH|={\frac {|N||H|}{|N\cap H|}}$

이므로 이는 p-부분군이다. 따라서 $NH=H$이며, 특히 $N\subseteq H$이다.

이에 따라 $\operatorname {O} (p;G)$는 $G$의 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 극대 정규 p-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$에 대하여, $\phi (\operatorname {O} (p;G))$ 역시 $G$의 극대 정규 p-부분군이며, 따라서 $\phi (\operatorname {O} (p;G))=\operatorname {O} (p;G)$이다. 즉, $\operatorname {O} (p;G)$는 $G$의 특성 부분군이다.

만약 $H$가 $G$의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, $\operatorname {N} _{G}(H)=G$이므로,

$n(p^{n};G)={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}=1$

이며, 따라서 $H=\operatorname {O} (p;G)$이다.

다음과 같은 조건을 생각하자.

• $\operatorname {O} (p;G)=H\cap K$인 두 쉴로브 p-부분군 $H,K\subseteq G$가 존재한다.

이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.

• $p$는 홀수 비(非)메르센 소수이다.
• $|G|$는 홀수이다.
• $p=2$이며, $|G|$는 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.

프라티니 논증

 이 부분의 본문은 프라티니 논증입니다.

만약 $N$이 $G$의 정규 부분군이며, $H$가 $N$의 쉴로브 p-부분군이라면, $G=N\operatorname {N} _{G}(H)$이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 $H$가 $G$의 쉴로브 p-부분군, $K$가 $G$의 부분군이며, $\operatorname {N} _{G}(H)\subseteq K$라면, $\operatorname {N} _{G}(K)=K$이다. 특히, $\operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(H))=\operatorname {N} _{G}(H)$가 성립한다.

응용

실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. $p$와 $q$가 소수이며, $p<q$라고 하자.

• $p\nmid q-1$일 경우, 크기가 $pq$인 군은 순환군과 동형이다.
• $p\mid q-1$일 경우, 크기가 $pq$이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
• 크기가 $p^{m}q^{n}$ ($m,n\in \{1,2\}$)인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.

역사

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

같이 보기

• 쉴로브 기저

외부 링크

• “Sylow theorems”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylow theorems”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.