띠행렬

수학 , 특히 행렬 이론에서 밴드 매트릭스(Band matrix)라고 불리는 밴드 행렬은 $0$이 아닌 엔트리(성분)가 대각선으로 한정된 희소행렬 이며,

바꾸어말하면 주 대각선의 대역폭과 양측에 $0$으로 이루어진 $1$개 이상의 대각선을 포함하게 되는 행렬이다.

기븐스 행렬과 기븐스 회전(Givens rotation)이 임의의 행렬의 특정 위치의 성분을 $0$으로 만드는 유효한 개념이라고 할 수 있다면, 밴드행렬은 $0$ 값을 갖는 행렬성분과 비영(非零,non-zero)값의 성분 간의 비율관계에 있어서 유효한 개념이라고 할 수 있다.

일반적인 밴드 행렬

정사각행렬을 일반적인 밴드행렬 구조로 예약해보면,

${\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&0&\cdots &0&0\\B_{21}&B_{22}&B_{23}&\ddots &\ddots &0\\0&B_{32}&B_{33}&B_{34}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &B_{43}&B_{44}&B_{45}&0\\0&\ddots &\ddots &B_{54}&B_{55}&B_{56}\\0&0&\cdots &0&B_{65}&B_{66}\end{bmatrix}}$

예

정사각행렬을 가정하면,

$B_{i,j},i=j,i-j=0$이면, 주대각선만을 갖는 대각행렬

$B_{i,j}$에서 $i-j=\pm 1$의 대역폭은 3중대각행렬

$B_{i,j}$에서 $i-j=\pm 2$의 대역폭은 5중대각행렬

$B_{i,j}$에서 $i-j=\pm 3$의 대역폭은 7중대각행렬

$B_{i,j},i=j,i-j=0$이면서, $B_{i,j}=B_{i,j}$ 이면, 주대각선만을 갖는 주대각선의 성분이 모두 같은 대각행렬이면서 스칼라 행렬이다.

계속해서, 삼각행렬,쉬프트 행렬,바이너리 행렬(로직행렬),헤센베르크 행렬,퇴플리츠 행렬,블록 행렬,전단 행렬(shear matrix),조르당 표준형 행렬,스카이라인 행렬,레머 행렬등 밴드행렬은 공백 또는 0 값을 갖는 행렬성분과 비영(non-zero,非零) 성분간의 비율관계에서 비선형적 형식의 행렬을 통해 이루어질 때, 사실상 대부분의 행렬을 체계적으로 분류하는데 유효하다고 할 수 있다.

대칭행렬

밴드행렬의 특수한 경우로 주대각선을 기준으로 서로 원소(성분)들이 반사되는 대칭행렬이라는 행렬이 존재한다.

${\begin{bmatrix}{\color {red}{A_{11}}}&A_{12}&A_{13}&0&\cdots &0\\&{\color {red}{A_{22}}}&A_{23}&A_{24}&\ddots &\vdots \\&&{\color {red}{A_{33}}}&A_{34}&A_{35}&0\\&&&{\color {red}{A_{44}}}&A_{45}&A_{46}\\&{\text{대 칭 }}&&&{\color {red}{A_{55}}}&A_{56}\\&&&&&{\color {red}{A_{66}}}\end{bmatrix}}.$

함께보기

• 희소행렬
• 가우스-조르단 소거법
• QR 분해

참고

• http://mathworld.wolfram.com/DiagonalMatrix.html
• http://mathworld.wolfram.com/Bandwidth.html

각주

• (m#math)http://www.msharpmath.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/09/102-004-%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D1.pdf