기븐스 행렬 (Givens matrix)은 수치선형대수학 에서 기븐스 회전 과 관련된 행렬이다. 월리스 기븐스 ( Wallace Givens)의 이름을 따서지어졌다. 이것은 1950년대에 월리스 기븐스가 아르곤 국립 연구소 와 일하면서 수치 분석가들에게 이것을 소개함으로써 알려졌다.
밴드행렬이
0
{\displaystyle 0}
값을 갖는 행렬성분과 비영(非零,non-zero)값의 성분 간의 비율관계에 있어서 유효한 개념이라면,
기븐스 행렬과 기븐스 회전 (Givens rotation)은 임의의 행렬의 특정 위치의 성분을
0
{\displaystyle 0}
으로 하는 좀더 강한 행렬의 조작 방법이자, 행렬의 근본적인 성질을 규명하는 단위 개념으로 사용되는데 유효하다고 할 수 있다.[1]
행렬 표현 [ 편집 ]
G
(
i
,
j
,
c
,
s
)
=
[
1
⋯
0
⋯
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
0
⋯
c
⋯
−
s
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
⋯
s
⋯
c
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
⋯
0
⋯
1
]
{\displaystyle G(i,j,c,s)={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &-s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
여기서
c
=
c
o
s
θ
{\displaystyle c=cos\theta }
및
s
=
s
i
n
θ
{\displaystyle s=sin\theta }
가
i
{\displaystyle i}
번째 행 및
j
{\displaystyle j}
번째 열의 교차점에서 나타날때,
삼각함수 항등식 의 피타고라스 정리 에서
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}{\theta }+\cos ^{2}{\theta }=1}
이므로,
s
2
+
c
2
=
1
{\displaystyle s^{2}+c^{2}=1}
이고,
G
(
i
,
j
,
c
,
s
)
=
G
(
i
,
j
,
θ
)
{\displaystyle G(i,j,c,s)=G(i,j,\theta )}
이다.
따라서, 기븐스 행렬의
0
{\displaystyle 0}
이 아닌 요소는 다음과 같이 표현할 수 있다.
g
n
n
=
1
n
=
i
=
j
,
g
n
n
≠
g
i
i
≠
g
j
j
≠
g
j
i
≠
g
i
j
g
i
i
=
c
g
j
j
=
c
g
j
i
=
−
s
g
i
j
=
s
i
>
j
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{n\,n}&{}=1\qquad \ n=i=j,g_{n\,n}\neq g_{i\,i}\neq g_{j\,j}\neq g_{j\,i}\neq g_{i\,j}\\g_{i\,i}&{}=c\\g_{j\,j}&{}=c\\g_{j\,i}&{}=-s\\g_{i\,j}&{}=s\qquad \ i>j\end{aligned}}}
같이 보기 [ 편집 ]
Cybenko, George (March–April 2001), "Reducing Quantum Computations to Elementary Unitary Operations " (PDF), Computing in Science and Engineering, 3 (2): 27–32, DOI :10.1109/5992.908999