스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서, 스펙트럼 열(spectrum列, 영어: spectral sequence)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.

정의

어떤 아벨 범주 ${\mathcal {C}}$의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) $(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}$을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열 $E_{r}^{p,q}$는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.

• 어떤 정수 $r_{0}\in \mathbb {Z}$
• 모든 $r\geq r_{0}$에 대하여, ${\mathcal {C}}$의 대상 $E_{r}^{p,q}$
• 공경계 사상 $d_{r}\colon E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q+1-r}$

이들은 다음을 만족시킨다.

• 모든 정수 $r\geq r_{0}$에 대하여, $d_{r}\circ d_{r}=0$이다. 즉, 다음은 완전열을 이룬다.

$\cdots \to E_{r}^{p,q}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+r,q+1-r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+2r,q+2-2r}\to \cdots$

• $H(E_{r}^{p,q})\cong E_{r+1}^{p,q}$이다.

호몰로지 스펙트럼 열의 경우 대신 $E_{p,q}^{r}$로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상

$\partial _{r}\colon E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q-1+r}^{r}$

을 사용한다.

코호몰로지 스펙트럼 수열 $E_{2}^{p,q}$의 형상화

그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 $r$에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 $r_{0},r_{0}+1,\dots$인 "책"을 이루며, 책의 $r\geq r_{0}$번째 쪽에는 $(p,q)$에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.

스펙트럼 열의 구성

스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다.

완전쌍

어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍(完全雙, 영어: exact couple) $(A,E,f,g,h)$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 두 개의 대상 $A$, $E$
• 사상 $A{\xrightarrow {f}}A{\xrightarrow {g}}E{\xrightarrow {h}}A$

이들은

$\operatorname {im} f=\ker g$

$\operatorname {im} g=\ker h$

$\operatorname {im} h=\ker f$

를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다.

${\begin{matrix}A\qquad &{\xrightarrow {f}}&\qquad A\\{\scriptstyle h}\nwarrow &&\swarrow \scriptstyle g\\&E\end{matrix}}$

완전쌍 $(A,E,f,g,h)$의 유도 완전쌍(誘導完全雙, 영어: derived exact couple) $(A',E',f',g',h')$은 다음과 같은 완전쌍이다.

• $d=g\circ h$
• $A'=\operatorname {im} f$
• $E'=\ker d/\operatorname {im} d$
• $f'=f|_{A}\colon A'\to A'$
• $g'\colon A'\to E'$는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) $g'\colon a'\mapsto g(f^{-1}(a'))$이다. 이 경우, $f^{-1}(a')$의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
• $h'\colon E'\to A'$는 $h\colon C\to A$에 의하여 유도된다. 즉, $h\colon [e]\mapsto h(e)$이다. 이 경우, $g(h(e))=0$이므로 항상 $g(h(e))=f(a)$인 $a\in A$가 존재하며, 따라서 $h(e)\in f(A)=A'$이다.

이를 반복하여, $n$차 유도 완전쌍 $(A^{(n)},E^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})$을 정의할 수 있다. 그렇다면,

$E^{(0)}{\stackrel {d}{\Rightarrow }}E^{(1)}{\stackrel {d^{(1)}}{\Rightarrow }}E^{(2)}\Rightarrow \cdots$

는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, $A$ 및 $C$는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.

여과 복합체의 스펙트럼 열

사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$에 증가하는 여과 $F_{\bullet }(C_{\bullet })$가 주어졌다고 하자. 즉,

$F_{p}C_{\bullet }\subseteq F_{p+1}C_{\bullet }$

라고 하자. 또한, 경계 $\partial$가 여과와 호환된다고 하자. 즉,

$\partial (F_{p}C_{n})\subseteq \partial (F_{p}C_{n+1})$

이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.

${\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet }/F_{p-2}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet }/F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}$

여기에

$A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet })$

$E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })$

를 정의한다면,

• $f\colon A\to A$
• $g\colon A\to E$
• $h\colon E\to A$

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.

예

$X$가 CW 복합체이며, $X_{p}$가 그 $p$차원 세포들로 구성된 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.

${\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p},X_{p-1})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p-1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p-1},X_{p-2})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p+1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p+1},X_{p})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p},X_{p-1})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}$

이에 따라,

$A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p})$

$E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p},X_{p-1})$

로 놓으면,

• $f\colon A\to A$
• $g\colon A\to E$
• $h\colon E\to A$

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 $E_{p,q}^{2}$에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.

역사

장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다. 이는 오늘날 르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열(영어: Grothendieck spectral sequence)의 특수한 경우다. 그 뒤, 세르 스펙트럼 열(Serre spectral sequence), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence) 등 스펙트럼 열의 다른 많은 예들이 발견되었다. 윌리엄 매시(영어: William Massey)는 완전쌍(영어: exact couple)이라는, 스펙트럼 열을 정의하는 일반적인 방법을 발견하였다.

르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(프랑스어: anneau spectral)라는 용어를 사용하였고, 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(프랑스어: suite spectrale)으로 개량하였다. 존 매클리어리(영어: John McCleary)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다. 라비 바킬(영어: Ravi Vakil)은 스펙트럼 열(영어: spectral sequence 스펙트럴 시퀀스^[*])이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(영어: specter 스펙터^[*])처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(영어: terrifying, evil, and dangerous) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.

참고 문헌

• McCleary, John (2001). 《A user’s guide to spectral sequences》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 58 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626289. ISBN 978-0-52156141-9. MR 1793722. Zbl 0959.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• McCleary, John (1999). 〈A history of spectral sequences: origins to 1953〉. 《History of topology》 (영어). North-Holland. 631–663쪽. doi:10.1016/B978-044482375-5/50024-9. ISBN 978-0-444-82375-5. MR 1721118. Zbl 0956.55003. 
• Bott, Raoul; Tu, Loring W. 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. 

바깥 고리

• Renze, John. “Spectral sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Spectral sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Exact couple”. 《nLab》 (영어). 
• “Spectral sequence of a filtered complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Spectral sequence of a double complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Frölicher spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Hodge–de Rham spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Degeneration of Hodge to de Rham spectral sequence”. 《nLab》 (영어).