층 이론에서, 르레 스펙트럼 열(Leray spectrum列, 영어: Leray spectral sequence)은 층 코호몰로지를 그 직상의 층 코호몰로지로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. 세르 스펙트럼 열(Serre spectrum列, 영어: Serre spectral sequence)은 세르 올뭉치에 대한, 층 코호몰로지가 단순히 특이 코호몰로지가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.
르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.[1][2]
![{\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a72e6b5a24e4a0b2f3cf5d126bd14b0c012d474)
여기서
는 위상 공간 사이의 연속 함수
에 의하여 유도되는 층의 직상이며,
는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주
로의 직상)이다. 층의 직상
은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상
![{\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f2a1782f35588d945a66ba679948d11f2eaa9d)
![{\displaystyle f^{*}\dashv f_{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142315938dbc5c9069d769922e51e9ea0acd0e91)
을 가지므로, 직상
은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.
르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}({\mathcal {F}})=\operatorname {H} ^{p}(Y;\operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;{\mathcal {F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3485918248e85820833c8ecd1100840d90444cc6)
여기서
은 층 코호몰로지이다. 이를 사용하여
위의 층 코호몰로지를
위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다.
세르 스펙트럼 열[편집]
르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로,
가 올이
인 세르 올뭉치라고 하고,
가
위의, 아벨 군
값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
는 경로 연결 CW 복합체이다.
- 기본군
는
위에 자명하게 작용한다.
그렇다면
![{\displaystyle \operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}}={\underline {\operatorname {H} ^{q}(F;G)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb501bdb5b95a4ce540d12e5791c1278eec9e082)
가 된다. 즉,
는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.[3]:8, Theorem 1.3
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}\left(Y;\operatorname {H} ^{q}(F;G)\right)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd9d8a78a336a386dd36facf32f3b6c9cb4ace5)
여기서
는 특이 코호몰로지이다. 이를 세르 스펙트럼 열(영어: Serre spectral sequence)이라고 한다.
고리 공간[편집]
양의 정수
이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 초구
에 대하여, 경로 공간 올뭉치
![{\displaystyle \Omega \mathbb {S} ^{n}\hookrightarrow {\mathcal {P}}\mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554b466f50953267a0176da1043ac1ef1db07500)
를 생각하자. (
인 경우, 0차원 초구는 경로 연결 공간이 아니므로 이는 올뭉치를 이루지 않는다.) 여기서
는 고리 공간이며,
는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) 경로들의 공간이다.
이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다.
![{\displaystyle E_{p,q}^{2}=\operatorname {H} _{p}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{q}(\Omega \mathbb {S} ^{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ed24d236bec841349e08e834f80874d980c4c4)
은 경로 연결 공간이므로,
일 경우
![{\displaystyle E_{p,0}^{2}=\operatorname {H} _{p}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&p\neq 0,n\\\mathbb {Z} &p=0,n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf08ff9c119860f809848f49bb780c5bb80d3ddb)
이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은
및
밖에 없다.
경로 공간은 (밑점에서의 상수 함수로) 축약 가능 공간이므로,
![{\displaystyle E_{p,q}^{\infty }={\begin{cases}\mathbb {Z} &p=q=0\\0&p\neq 0\lor q\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6c6f4202ce8e4053f6203a2a7821b78ac2db42)
이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는
성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은
및
밖에 없으므로,
는 오직
번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다.
번째 쪽에서
![{\displaystyle \deg d^{n}=(-n,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a819a1739f67541c29aadebd988f1bfb2a728da)
이므로,
은
과 상쇄되어야 한다. 즉,
![{\displaystyle E_{0,n-1}^{2}=\operatorname {H} _{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1267cb156e2e0dedc5ac35a331e5f8f16fdf9f7)
이다. 따라서
![{\displaystyle \operatorname {H} _{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a2ee3c24b63c461d93d599014ab84ef130d91f)
이다.
그런데 이제
역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은
번째 쪽이며, 이는
과 상쇄되어야 한다. 따라서
![{\displaystyle E_{0,2(n-1)}^{2}=\operatorname {H} _{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2557e160e7c3169766e08d93fbaa89e99ad6ae12)
이며
![{\displaystyle \operatorname {H} _{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10db915add34fbc3dfc6908b9020bdd8795675d)
이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 고리 공간의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\mid n-1\\0&k\nmid n-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da15d45240581acd6fe648907cbcee66c208b6a)
귀진 완전열[편집]
올이 초구인 세르 올뭉치
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fb3f2baf20bcb3bb7f40f05dbc836225b5d331)
가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열
은 오직
인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는
번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해
의 코호몰로지와
의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 귀진 완전열이라고 한다.
1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다.[1][2] 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.[4]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]