르레 스펙트럼 열

층 이론에서, 르레 스펙트럼 열(Leray spectrum列, 영어: Leray spectral sequence)은 층 코호몰로지를 그 직상의 층 코호몰로지로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. 세르 스펙트럼 열(Serre spectrum列, 영어: Serre spectral sequence)은 세르 올뭉치에 대한, 층 코호몰로지가 단순히 특이 코호몰로지가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

정의

르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.

$\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab}$

여기서 $f_{*}$는 위상 공간 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 의하여 유도되는 층의 직상이며, $\Gamma _{X}$는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 $\operatorname {Sh} (\{\bullet \},\operatorname {Ab} )\simeq \operatorname {Ab}$로의 직상)이다. 층의 직상 $f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )$은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

$f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )$

$f^{*}\dashv f_{*}$

을 가지므로, 직상 $f_{*}$은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다.

$E_{2}^{p,q}({\mathcal {F}})=\operatorname {H} ^{p}(Y;\operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;{\mathcal {F}})$

여기서 $\operatorname {H} ^{\bullet }(-;-)$은 층 코호몰로지이다. 이를 사용하여 $X$ 위의 층 코호몰로지를 $Y$ 위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다.

세르 스펙트럼 열

르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로, $f\colon X\to Y$가 올이 $F$인 세르 올뭉치라고 하고, ${\mathcal {F}}={\underline {G}}$가 $X$ 위의, 아벨 군 $G$ 값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• $Y$는 경로 연결 CW 복합체이다.
• 기본군 $\pi _{1}(Y)$는 $\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;G)$ 위에 자명하게 작용한다.

그렇다면

$\operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}}={\underline {\operatorname {H} ^{q}(F;G)}}$

가 된다. 즉, $\operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}}$는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.^{:8, Theorem 1.3}

$E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}\left(Y;\operatorname {H} ^{q}(F;G)\right)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;G)$

여기서 $\operatorname {H}$는 특이 코호몰로지이다. 이를 세르 스펙트럼 열(영어: Serre spectral sequence)이라고 한다.

예

고리 공간

양의 정수 $n>0$이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 초구 $(\mathbb {S} ^{n},\bullet _{\mathbb {S} ^{n}})$에 대하여, 경로 공간 올뭉치

$\Omega \mathbb {S} ^{n}\hookrightarrow {\mathcal {P}}\mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}$

를 생각하자. ($n=0$인 경우, 0차원 초구는 경로 연결 공간이 아니므로 이는 올뭉치를 이루지 않는다.) 여기서 $\Omega$는 고리 공간이며, ${\mathcal {P}}$는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) 경로들의 공간이다.

이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다.

$E_{p,q}^{2}=\operatorname {H} _{p}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{q}(\Omega \mathbb {S} ^{n}))$

$\Omega \mathbb {S} ^{n}$은 경로 연결 공간이므로, $q=0$일 경우

$E_{p,0}^{2}=\operatorname {H} _{p}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&p\neq 0,n\\\mathbb {Z} &p=0,n\end{cases}}$

이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은 $p=0$ 및 $p=n$ 밖에 없다.

경로 공간은 (밑점에서의 상수 함수로) 축약 가능 공간이므로,

$E_{p,q}^{\infty }={\begin{cases}\mathbb {Z} &p=q=0\\0&p\neq 0\lor q\neq 0\end{cases}}$

이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는 $E_{n,0}^{2}=\mathbb {Z}$ 성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은 $p=0$ 및 $p=n$밖에 없으므로, $E_{n,0}^{2}$는 오직 $n$번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다. $n$번째 쪽에서

$\deg d^{n}=(-n,n-1)$

이므로, $E_{n,0}^{2}$은 $E_{0,n-1}^{2}$과 상쇄되어야 한다. 즉,

$E_{0,n-1}^{2}=\operatorname {H} _{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z}$

이다. 따라서

$\operatorname {H} _{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$

이다.

그런데 이제 $E_{n,n-1}^{2}=\mathbb {Z}$ 역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은 $n$번째 쪽이며, 이는 $E_{0,2(n-1)}^{2}$과 상쇄되어야 한다. 따라서

$E_{0,2(n-1)}^{2}=\operatorname {H} _{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z}$

이며

$\operatorname {H} _{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$

이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 고리 공간의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\operatorname {H} _{k}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\mid n-1\\0&k\nmid n-1\end{cases}}$

귀진 완전열

 이 부분의 본문은 귀진 완전열입니다.

올이 초구인 세르 올뭉치

$\mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B$

가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열 $E_{\bullet }^{p,q}$은 오직 $q=0,k$인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는 $k+2$번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해 $E$의 코호몰로지와 $B$의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 귀진 완전열이라고 한다.

역사

1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.

외부 링크

• “Leray spectral sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Leray spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Serre spectral sequence”. 《nLab》 (영어).