탈레스 정리 (평행)

기하학에서, 탈레스 정리(영어: Thales' theorem)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.

정의

평면 위 3개의 서로 다른 평행선 $l$, $l'$, $l''$이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 $l$, $l'$, $l''$과 하나는 각각 점 $A$, $A'$, $A''$에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 $B$, $B'$, $B''$에서 만난다고 하자. 탈레스 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\frac {\overrightarrow {AA''}}{\overrightarrow {AA'}}}={\frac {\overrightarrow {BB''}}{\overrightarrow {BB'}}}$

특히, 만약 $A''$이 $A$에 대하여 $A'$과 같은 쪽에 있다면, $B''$ 역시 $B$에 대하여 $B'$과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 $A''$이 $A$에 대하여 $A'$과 다른 쪽에 있다면, $B''$ 역시 $B$에 대하여 $B'$과 다른 쪽에 있다.

증명

우선 ${\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=1/2$인 경우를 보이자. $A$를 지나는 $BB'$의 평행선과 $l''$의 교점을 $C''$이라고 하고, $A''$을 지나는 $BB'$의 평행선과 $l'$의 교점을 $C'$이라고 하자. 그렇다면 $\angle A''AC''=\angle A'A''C'$, $AA''=A''A'$, $\angle AA''C''=\angle A''A'C'$이므로, 삼각형 $AA''C''$과 $A''A'C'$은 합동이며, 특히 ${\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}$이다. 사각형 $ABB''C''$, $A''B''B'C'$은 모두 평행 사변형이므로,

${\overrightarrow {BB''}}={\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}={\overrightarrow {B''B'}}$

이다. 즉, ${\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=1/2$가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 $m$과 양의 정수 $n$에 대하여 ${\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=m/n$이라고 하자. 선분 $AA'$을 $n$등분하고, 직선 $AA'$의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 $n$등분점을 지나는 $l$의 평행선과 직선 $BB'$의 교점 역시 선분 $BB'$을 $n$등분하며, 또한 직선 $BB'$의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 ${\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=m/n$이 성립한다.

이제 ${\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=\lambda$가 일반적인 실수인 경우를 보이자. ${\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=\mu$이라고 가정하자. 임의의 유리수 $q$에 대하여, 직선 $AA'$ 위에서 ${\overrightarrow {AP}}=q{\overrightarrow {AA'}}$인 점 $P$를 취하고, $P$를 지나는 $l$의 평행선과 직선 $BB'$의 교점을 $Q$라고 하자. 그렇다면 ${\overrightarrow {BQ}}=q{\overrightarrow {BB'}}$이다. $A''B''$과 $PQ$는 평행하므로, 만약 $\lambda <q$라면 $\mu <q$, 만약 $\lambda =q$라면 $\mu =q$, 만약 $\lambda >q$라면 $\mu >q$이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, $\mu =\lambda$가 성립한다.

따름정리와 일반화

닮음 삼각형의 성질

삼각형 $ABC$의 두 변 $AB$, $AC$의 직선과 점 $B'$, $C'$에서 만나는 직선 $B'C'$이 다른 한 변 $BC$에 평행한다고 하자. 그렇다면,

${\frac {\overrightarrow {AB}}{\overrightarrow {AB'}}}={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC'}}}={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {B'C'}}}$

이다.^{:25, §I.3, Corollary 3.3}

증명:

점 $A$를 지나는 $BC$의 평행선과 직선 $BC$, $B'C'$에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.

${\frac {\overrightarrow {AB}}{\overrightarrow {AB'}}}={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC'}}}=\lambda$

라고 하자. 그렇다면,

${\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {B'C'}}}={\frac {{\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}}{{\overrightarrow {AC'}}-{\overrightarrow {AB'}}}}={\frac {\lambda {\overrightarrow {AC'}}-\lambda {\overrightarrow {AB'}}}{{\overrightarrow {AC'}}-{\overrightarrow {AB'}}}}=\lambda$

이다.

중심 닮음 변환의 성질

평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.

증명:

우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 $O$라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 $A$, $B$를 취하자. $A$의 상을 $A'$이라고 하고, $A'$을 지나는 $AB$의 평행선과 직선 $OB$의 교점을 $B'$이라고 하자. 그렇다면

${\frac {\overrightarrow {OB'}}{\overrightarrow {OB}}}={\frac {\overrightarrow {OA'}}{\overrightarrow {OA}}}$

이므로, $B'$ 역시 $B$의 상이다. 따라서 직선 $AB$의 상직선 $A'B'$은 원래 직선에 평행한다.

다차원 아핀 공간 일반화

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 서로 다른 평행 아핀 초평면 $H,H',H''\subseteq A$가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 $L\subseteq A$가 $H$, $H'$, $H''$과 각각 점

$a=H\cap L$

$a'=H'\cap L$

$a''=H''\cap L$

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

${\frac {\overrightarrow {aa''}}{\overrightarrow {aa'}}}\in K$

은 아핀 초평면 $H$, $H'$, $H''$에만 의존하며, 아핀 직선 $L$의 선택과 무관하다.^{:49, §2.5, Proposition 2.5.1}

증명:

아핀 초평면 $H$의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 $V(H)$에 대한 몫아핀 공간 $A/V(H)$로 가는 아핀 사영 변환

$P\colon A\to A/V(H)$

를 생각하자. 그렇다면 $P$는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 ${\overrightarrow {P}}$를 갖는다. 이제

${\overrightarrow {aa''}}=\lambda {\overrightarrow {aa'}}\qquad (\lambda \in K)$

라고 가정하자. 그렇다면

${\overrightarrow {P}}({\overrightarrow {aa''}})=\lambda {\overrightarrow {P}}({\overrightarrow {aa'}})$

이며, ${\overrightarrow {P}}$의 정의에 의하여

${\overrightarrow {P(a)P(a'')}}=\lambda {\overrightarrow {P(a)P(a')}}$

이다. 따라서,

$\lambda ={\frac {\overrightarrow {P(a)P(a'')}}{\overrightarrow {P(a)P(a')}}}={\frac {\overrightarrow {P(H)P(H'')}}{\overrightarrow {P(H)P(H')}}}$

은 아핀 직선 $L$의 선택과 무관하다.

역사

고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.