치올콥스키 로켓 방정식

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치올콥스키 로켓 방정식(Tsiolkovsky's rocket equation)는 "중력과 저항등 외력이 작용하지 않을때" 의 로켓의 운동을 기술하는 방정식이다. 처음 유도해낸 콘스탄틴 치올콥스키의 이름을 담고 있다. 식은 다음과 같다.

v_1 = v \ln \frac {m_0} {m_1} + v_0

여기서 m_0은 가속할 때의 로켓의 질량이고, m_1은 연료를 뺀 빈 로켓의 질량, v_0는 로켓의 초기속력, v_1은 로켓의 최종속력, v는 로켓추진체의 분사속력이다.

유도과정[편집]

이 방정식은 운동량 보존법칙

{dp \over\ dt} = 0

의 변형이다.

일반적인 경우  {dm \over\ dt}=0 이므로  ma = F = 0 으로 뉴턴의 제 1법칙(관성의 법칙)을 나타내는 방정식이 된다.

그러나 로켓의 경우  {dm \over\ dt} \ne 0 이므로 운동량 보존법칙을 나타내는 식을 변형하면 "치올콥스키 로켓 방정식" 가 유도된다.


 {dp \over\ dt} = {d(mv) \over\ dt}  = 0
(외력이 작용하지 않으므로 운동량의 변화가 없다. )
 ma + v{dm \over\ dt } = 0

(곱의 미분)

 -a dt = v{dm \over\ m}
 -\int_{t_0}^{t_1} a\, dt = v \int_{m_0}^{m_1}  {dm \over\ m}

(양변에 적분기호)

\Delta v = v \ln \frac {m_0} {m_1}

의미[편집]

비록 실제상황보다 극히 간단한 가정을 하지만, 로켓 방정식은 로켓 비행에 있어서의 핵심적인 물리를 간명하게 보여준다. 로켓 궤도 역학에 있어서 \Delta v는 궤도의 이동이 얼마나 쉬운지, 혹은 어려운지를 나타내주는 양이 된다.

식에서 알 수 있듯이 큰 \Delta v를 얻기 위해서는 m_0 이 크거나 (\Delta v에 비해 지수함수 적으로 커져야 함), m_1이 작아야 하거나, 아니면 분사속도 v 가 매우 높아야 하거나, 이들 셋이 잘 조합되어야 한다.

실제에서는 거대한 로켓을 만들고 (m_0을 키움), 다단계 로켓을 만들고 (m_1을 줄임), 분사속도를 높게한다. 아폴로 우주 계획에서 사용되었던 새턴 5호 로켓이 이런 조건을 만족하는 좋은 예가 된다.