치올콥스키 로켓 방정식

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치올콥스키 로켓 방정식(Tsiolkovsky's rocket equation)는 중력과 저항이 없을 때의 로켓의 운동을 기술하는 방정식이다. 처음 유도해낸 콘스탄틴 치올콥스키의 이름을 담고 있다. 식은 다음과 같다.

v_1 = v \ln \frac {m_0} {m_1} + v_0

여기서 m_0은 가속할 때의 로켓의 질량이고, m_1은 연료를 뺀 빈 로켓의 질량, v_0는 로켓의 초기속력, v_1은 로켓의 최종속력, v는 로켓추진체의 분사속력이다.

식은 일정한 속력으로 질량을 분사시켜 연료를 다 소비할 때까지 로켓의 운동방정식을 적분함으로써 얻어진다. 유도과정에서 연료의 밀도등의 물리량은 서로 지워져서 마지막 식에 나타나지 않게 된다. 두 속력의 차이 v_1 - v_0 는 흔히 \Delta v로 나타낸다. 즉, 다음과 같다.

m a = \frac {dm} {dt} v
 a dt = v \frac {dm} {m}
\int_{t_0}^{t_1} a dt = v \int_{m_0}^{m_1} \frac {dm} {m}
\Delta v = v \ln \frac {m_0} {m_1}

비록 실제상황보다 극히 간단한 가정을 하지만, 로켓 방정식은 로켓 비행에 있어서의 핵심적인 물리를 간명하게 보여준다. 로켓 궤도 역학에 있어서 \Delta v는 궤도의 이동이 얼마나 쉬운지, 혹은 어려운지를 나타내주는 양이 된다.

식에서 알 수 있듯이 큰 \Delta v를 얻기 위해서는 m_0 이 크거나 (\Delta v에 비해 지수함수 적으로 커져야 함), m_1이 작아야 하거나, 아니면 분사속도 v 가 매우 높아야 하거나, 이들 셋이 잘 조합되어야 한다.

실제에서는 거대한 로켓을 만들고 (m_0을 키움), 다단계 로켓을 만들고 (m_1을 줄임), 분사속도가 높은 로켓을 사용한다. 아폴로 우주 계획에서 사용되었던 새턴 5호 로켓이 이런 조건을 만족하는 좋은 예가 된다.