편심 이각

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궤도역학에서, 편심 이각(영어: eccentric anomaly)은 타원 케플러 궤도를 따라 움직이는 물체의 위치를 결정하는 궤도 요소이다. 편심 이각은 진근점 이각, 평균 근점 이각과 함께 궤도에서의 물체의 위치를 설명하는 각 변수이다.

시각적 묘사[편집]

물체의 위치 P와 편심 이각 E를 나타낸 그림. 타원의 중심은 C로, 타원의 초점은 F로 표시되어 있다.

타원을 다음과 같은 방정식으로 생각하자.

a는 궤도 긴반지름이고, b짧은반지름이다.

타원의 어떠한 점 P = P(xy)에 대한 편심 이각에 대항하는 각 E가 오른쪽의 그림에 나와 있다. 편심 이각 E는 타원의 중심에 꼭짓점 하나를 찍고 빗변 a(궤도 긴반지름과 같다)를 그은 다음, 긴반지름 빗변과 수직하면서 P에 닿도록 선분을 그어 만들어진 직각삼각형을 통해 관찰할 수 있다. 편심 이각은 진근점 이각과 같은 방향에서 측정되며, 그림에는 f로서 표시되어 있다.

위의 직각삼각형에서 편심 이각 E와 관련된 좌표는 다음과 같이 주어진다.[1]

둘 사이의 관계를 통해 다음과 같은 식이 산출된다.

이는 sin E = ±y/b임을 드러낸다. 이 때 sin E = −y/b는 타원을 반대 방향으로 돌 경우이므로 가능한 해에서 제외된다.

공식[편집]

반지름과 편심 이각[편집]

이심률 e는 다음과 같이 정의된다.

피타고라스의 정리에 따라, r(FP)을 빗변으로 볼 경우 다음이 성립한다.

따라서, 반지름(P와 초점 사이의 거리)과 편심 이각의 관계는 다음 공식과 같다.

이 결과를 통해, 후술되듯 편심 이각은 진근점 이각으로부터 정의될 수 있다.

진근점 이각으로부터[편집]

진근점 이각은 위의 그림에 f로 표시되어 있는 각도이고, θ로 표기된다. 편심 이각과 진근점 이각은 밑에 보여지는 것과 같은 관계가 있다.[2]

위에서 유도하였던 r에 대한 방정식을 사용하여, E의 사인과 코사인 값은 θ로 표현될 수 있다.

따라서,

따라서 각도 E는 빗변의 길이가 1 + e cos θ, 인접변의 길이가 e + cos θ, 그리고 반댓변의 길이가 1 − e2 sin θ인 직각삼각형의 각도이다.

또한,

위의 r에 대한 방정식처럼 cos E를 빼면 반지름을 진근점 이각을 통해서 구할 수 있다.[2]

평균 근점 이각으로부터[편집]

편심 이각 E는 케플러 방정식에 따라 평균 근점 이각 M과도 관계가 있다.[3]

이 식은 M에 대한 E의 폐형 해를 가지지 않고, 보통 뉴턴 방법 등을 통해 푼다.

각주[편집]

  1. George Albert Wentworth (1914). 〈The ellipse §126〉. 《Elements of analytic geometry》 2판. Ginn & Co. 141쪽. 
  2. James Bao-yen Tsui (2000). 《Fundamentals of global positioning system receivers: a software approach》 3판. John Wiley & Sons. 48쪽. ISBN 0-471-38154-3. 
  3. Michel Capderou (2005). 〈Definition of the mean anomaly, Eq. 1.68〉. 《Satellites: orbits and missions》. Springer. 21쪽. ISBN 2-287-21317-1. 
참조
  • Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, GB
  • Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)

같이 보기[편집]