이중 타원 전이

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이중 타원 전이(영어: Bi-elliptic transfer)는 우주선을 한 궤도에서 다른 궤도로 이동시키는 방법 중 하나로, 반으로 잘린 타원 궤도 두 개가 사용된다.

출발 궤도에서 첫 번째 분사를 통해 중심체에서 궤도 원점이 만큼 떨어진 궤도로 옮겨간 다음, 원점에서의 두 번째 분사를 통해 근점을 최종 목표 궤도의 고도로 맞춘 다음, 세 번째 분사로 목표 궤도에 진입한다.[1] 호만 전이에 비해 엔진 분사가 한 번 더 필요하고 전이 시간도 길지만, 조건에 따라서 이중 타원 전이가 호만 전이보다 델타 V의 소모량이 적은 경우도 있다.[2]

계산[편집]

델타 V[편집]

저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 타원 전이의 모습.

세 번의 속도 변화는 모두 활력방정식에서 직접 유도할 수 있다.

  • 은 위성의 속도이다.
  • 은 중심체의 표준 중력 변수이다.
  • 은 중심체와 위성 사이의 거리, 즉 궤도 반지름이다.
  • 은 위성의 궤도 긴반지름이다.

이를 이용해 다음 기호를 정의할 수 있다.

  • 은 출발 궤도의 반지름이다.
  • 은 최종 궤도의 반지름이다.
  • 은 두 전이 궤도의 공통 원점 고도로, 이중 타원 전이의 자유 변수이다.
  • 은 두 타원 전이 궤도의 긴반지름으로, 다음과 같이 구할 수 있다.
    ,
    .

반지름 인 원 궤도에서 시작할 때, 순행 방향으로 분사하여 첫 번째 타원 전이 궤도로 들어가게 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다.

첫 번째 타원 전이 궤도의 원점에 도달했으면 궤도 중심체와의 거리는 가 된다. 둘째 분사를 통해 근지점의 궤도를 목표 원궤도로 올리면, 우주선의 궤도는 두 번째 타원 전이 궤도가 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다.

마지막으로 고도 인 지점에 도달하면, 역행 방향으로 분사하면 궤도가 원형이 되고, 목표 궤도에 진입하게 된다. 마지막 분사에 필요한 델타 V는 다음과 같다.

만약 라면 일반적인 호만 전이가 되며, 이 된다. 따라서 호만 전이는 이중 타원 전이에서 분사가 2번밖에 없는 특수한 경우로 정의할 수 있다.

저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 포물선 전이의 모습.

로 둔다면 델타 V 절약량의 최대치를 계산할 수 있으며, 총 로 단순화된다. 이 경우에는 타원 대신 포물선 궤도를 사용하기 때문에, 이중 포물선 전이라고 하기도 한다. 전이 시간은 무한이 된다.

전이 시간[편집]

호만 전이와 유사하게 이중 타원 전이에서도 타원 궤도의 반을 이용하기 때문에, 전이 시간은 각 궤도 주기의 반씩을 더한 것과 같다. 공전 주기를 계산하는 식은 다음과 같다.

총 전이 시간 는 각 궤도에서 보내는 시간의 합과 같다.

호만 전이와의 비교[편집]

델타 V[편집]

반지름 비의 함수로 나타낸, 호만 전이(두꺼운 검은 선)와 이중 타원 전이(색이 있는 선)의 델타 V 소모량.

반지름의 비 이 11.94보다 작을 시 호만 전이의 효율이 항상 좋다. 반면 이 15.58이 넘을 시, 전이 궤도의 원점 에 상관없이, 이중 타원 전이의 효율이 항상 좋다. 11.94와 15.58 사이에서는 의 값에 따라 어느 전이 방법이 더 효율적인지가 결정된다.[3]

이중 타원 전이의 소모량이 호만 전이보다 더 작게끔 해주는 의 최솟값[4]
반지름의 비 최소 참조
<11.94 빈칸 호만 전이가 항상 우세
11.94 이중 포물선 전이
12 815.81
13 48.90
14 26.10
15 18.19
15.58 15.58
>15.58 이중 타원 전이가 항상 우세

전이 시간[편집]

이중 타원 전이의 긴 소요 시간은 큰 단점이며, 포물선이 될 경우 무한으로 발산한다. 호만 전이는 전이 궤도가 하나밖에 없기 때문에, 전이 시간은 이중 타원 전이의 절반 이하이다.

예시[편집]

r0 = 6700 km인 지구 저궤도에서 r1 = 93 800 km인 궤도로 올라가기 위해서는, 호만 전이를 이용할 시 Δv = 2825.02 + 1308.70 = 4133.72 m/s이 된다. 여기서 r1 = 14r0 > 11.94r0이기 때문에, 이중 타원 전이로 효율을 더 높일 수 있다. 우주선이 처음에 3061.04 m/s만큼 가속하면 r2 = 40r0 = 268 000 km인 타원 궤도로 진입하고, 608.825 m/s를 추가로 가속하면 r1 = 93 800 km인 타원 궤도로 진입하며, 마지막으로 447.662 m/s만큼 감속하면 목표 원궤도에 진입한다. 이 때의 총 Δv는 4117.53 m/s로, 호만 전이에 비해 16.19 m/s (0.4%) 적다.

Δv 절약량은 전이 궤도의 원점 고도를 증가시킴으로서 늘릴 수 있으며, 전이 시간도 같이 늘어난다. 예시로, 75.8r0 = 507 688 km(달 궤도의 1.3배)까지 올라간다면 호만 전이에 비해 Δv를 1% 절약할 수 있으나, 전이 시간이 17일로 증가한다. 극적인 예시로, 1757r0 = 11 770 000 km(달 궤도의 30배)까지 올라간다면 Δv를 2% 절약할 수 있지만, 전이 시간이 4.5년으로 늘며, 태양계 다른 천체들의 섭동을 받을 수 있다. 참고로 호만 전이로는 15시간 34분이 소요된다.

다양한 궤도 전이의 Δv
종류 호만 이중 타원
원지점 (km) 93 800 268 000 507 688 11 770 000
분사
(m/s)
1 증가 2825.02 증가 3061.04 증가 3123.62 증가 3191.79 증가 3194.89
2 증가 1308.70 증가 608.825 증가 351.836 증가 16.9336 보합 0
3 보합 0 감소 447.662 감소 616.926 감소 842.322 감소 853.870
총합 (m/s) 4133.72 4117.53 4092.38 4051.04 4048.76
호만 전이에 대한 비 100% 99.6% 99.0% 98.0% 97.94%
  • 증가 순행 방향의 Δv
  • 감소 역행 방향의 Δv

이중 타원 전이는 최초 분사에서의 델타 V 사용량이 더 높으며, 이로 인해 특정 궤도 에너지에 영향을 더 크게 준다. 또한 전체 델타 V가 감소하는 것은 오베르트 효과에 의한 것이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Curtis, Howard (2005). 《Orbital Mechanics for Engineering Students》. Elsevier. 264쪽. ISBN 0-7506-6169-0. 
  2. Vallado, David Anthony (2001). 《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》. Springer. 318쪽. ISBN 0-7923-6903-3. 
  3. Gobetz, F. W.; Doll, J. R. (May 1969). “A Survey of Impulsive Trajectories”. 《AIAA Journal》 (American Institute of Aeronautics and Astronautics) 7 (5): 801–834. Bibcode:1969AIAAJ...7..801D. doi:10.2514/3.5231. 
  4. Escobal, Pedro R. (1968). 《Methods of Astrodynamics》. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-24528-5.