측지선 완비 준 리만 다양체

리만 기하학에서 측지선 완비 준 리만 다양체(測地線完備準Riemann多樣體, 영어: geodesically complete pseudo-Riemannian manifold)는 그 측지선들이 중간에 임의로 끊기지 않는 준 리만 다양체이다.

정의

$(M,g)$가 준 리만 다양체라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, $(M,g)$를 측지선 완비 준 리만 다양체라고 한다.

임의의 $x\in M$ 및 $v\in T_{x}M$에 대하여, $\gamma (0)=x$이며 ${\dot {\gamma }}(0)={\dot {x}}$이며 모든 $t\in \mathbb {R}$에 대하여 ${\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}=1$인 측지선 $\gamma \colon \mathbb {R} \to M$이 존재한다.

즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다.

준 리만 다양체 $(M,g)$ 및 임의의 점 $x\in X$가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상

$\exp _{x}\colon \operatorname {dom} \exp _{x}\to M$

$\operatorname {dom} \exp _{x}\subseteq \operatorname {T} _{x}M$

을 정의할 수 있다. 물론, 정의역 $\operatorname {dom} \exp _{x}$는 $0$의 근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 $\operatorname {T} _{x}M$ 전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.

리만 다양체 $(M,g)$ 속의 점 $x\in X$의 단사성 반지름(單射性半-, 영어: injectivity radius)은 $\exp _{x}\upharpoonright \{v\in \mathrm {T} _{x}M\colon g(v,v)<R^{2}$가 단사 함수가 되는 $R$들의 상한이다. (물론 이 개념은 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에 대하여 무의미하다.)

확장 불가능성

준 리만 다양체 $(M,g)$가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 불가능 준 리만 다양체(擴張不可能準Riemann多樣體, 영어: inextendable pseudo-Riemannian manifold)라고 한다.

임의의 연결 성분 $(M_{i},g\upharpoonright M_{i})$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연결 준 리만 다양체 $({\tilde {M}},{\tilde {g}})$ 및 등거리 매장 $\iota \colon (M_{i},g\upharpoonright M_{i})\hookrightarrow ({\tilde {M}},{\tilde {g}})$이 존재하지 않는다.

• $\iota (M_{i})$는 ${\tilde {M}}$의 열린집합이다.
• ${\tilde {M}}\setminus \iota (M)\neq \varnothing$이다.

성질

임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 연결 성분이 콤팩트 ⇐ 콤팩트

리만 다양체의 경우, 호프-리노프 정리(Hopf-Rinow定理, 영어: Hopf–Rinow theorem)에 따르면 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 측지선 완비 준 리만 다양체이다.
• 모든 연결 성분이 완비 거리 공간이다.
• (하이네-보렐 정리) 각 연결 성분 속에서, 모든 유계 닫힌집합이 콤팩트 집합이다.

여기서, 임의의 연결 리만 다양체 위에는 표준적인 거리 함수를 줄 수 있는데, 위의 "완비 거리 공간" 및 "유계 집합"은 이 거리 함수에 대한 것이다.

그러나 호프-리노프 정리는 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다.

다만, 콤팩트 로런츠 다양체의 리만 곡률이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다.

예

호프-리노프 정리를 만족시키지 않는 로런츠 다양체의 대표적인 예는 클리프턴-폴 원환면(Clifton-Pohl圓環面, 영어: Clifton–Pohl torus)이다.^{:193, Example 7.16} 이는 콤팩트 공간이지만, 확장 불가능 다양체가 아니다.

원점을 제거한 평면 ${\tilde {M}}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon (x,y)\neq (0,0)$ 위에 다음과 같은 로런츠 계량을 주자.

$\mathrm {d} s^{2}={\frac {2\mathrm {d} x\,\mathrm {y} }{x^{2}+y^{2}}}$

이를 클리프턴-폴 평면(Clifton-Pohl平面, 영어: Clifton–Pohl plane)이라고 한다. 그렇다면, 다음과 같은 변환들은 ${\tilde {M}}$ 위의 등거리 변환이다.

$S_{\lambda }\colon (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ^{+}$

이제, $S_{2}$로 생성되는 이산 부분군을 생각하자. 이에 대한 몫공간

$M={\frac {\tilde {M}}{(x,y)\sim (2x,2y)}}$

은 원환면 $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$과 미분 동형이며, 특히 콤팩트 공간이다. $(M,g)$을 클리프턴-폴 원환면이라고 한다.

$(M,g)$은 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 이는 측지선 완비 다양체가 되지 못한다. 예를 들어, 측지선

$\gamma (t)=\left((1-t)^{-1},0\right)$

은 $t=1$에서 정의되지 않는다. 마찬가지로, 측지선

$\gamma (t)=(\tan t,1)$

역시 $t\pm \pi /2$에서 정의되지 않는다.

사실, 다음과 같은 좌표 변환을 가하자.

$(u,v)=(\arctan x,\arctan y)$

그렇다면, 클리프턴-폴 평면의 계량은 다음과 같다.

$\mathrm {d} s^{2}={\frac {2\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}{\sin ^{2}u\cos ^{2}v+\sin ^{2}v\cos ^{2}u}}$

이는 자연스럽게

$N=\mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(\pi m/2,\pi n/2)\in \colon (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2},\;m\equiv n{\pmod {2}}\right\}$

위에 정의된다. 즉, 단사 등거리 변환

$\iota \colon {\tilde {M}}\hookrightarrow N$

이 존재하며, 그 상은

$\iota (N)=\{(x,y)\colon |x|<\pi /2,\;|y|,\pi /2,\;(x,y)\neq (0,0)\}$

이다. $N$을 확장 클리프턴-폴 평면(擴張Clifton-Pohl平面, 영어: extended Clifton–Pohl plane)이라고 하며, 이는 $M$과 달리 측지선 완비 다양체이다.^:§1.3 그러나 $N$의 경우 $M$을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다.

역사

호프-리노프 정리는 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(독일어: Willi Ludwig August Rinow, 1907~1979)가 1931년에 증명하였다.

클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴(영어: Yeaton H. Clifton)과 윌리엄 폴(영어: William Pohl)이 발견하였으나, 출판하지 않았다.^:95

외부 링크

• “Complete Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hopf-Rinow theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete Riemannian metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hopf-Rinow theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Completeness implies geodesic completeness, a more conceptual way?” (영어). StackExchange.