초특별군

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군론에서, 초특별군(超特別群, 영어: extraspecial group)은 크기가 소수의 거듭제곱이며, 중심이 그 소수 크기의 순환군이며, 중심에 대한 몫군이 그 소수 크기의 순환군들의 직접곱유한군이다.

정의[편집]

유한군 가 어떤 소수 에 대하여 다음 세 조건을 만족시킨다면, 초특별군이라고 한다.

  • 이다.
  • . 즉, 그 중심크기 순환군이다.
  • 인 양의 정수 이 존재한다. (특히, 이므로, 아벨 군이 될 수 없다.)

성질[편집]

모든 -초특별군의 크기는

의 꼴이다. 반대로, 임의의 의 꼴의 수에 대하여, 이 크기의 초특별군은 (군의 동형 아래) 정확히 2개가 있다.

초특별군의 교환자 부분군은 중심과 같으며, 그 프라티니 부분군 역시 중심과 같다.

연산[편집]

두 군 및 군의 동형 사상

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 중심곱(中心곱, 영어: central product)은 다음과 같다.

이는 일반적으로 에 의존하지만, 만약 가 둘 다 초특별군일 경우 이는 (군의 동형 아래) 유일하다. 또한, 두 초특별군의 중심곱은 초특별군이다.

또한, 초특별군의 중심곱은 군의 동형 아래 결합 법칙교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의 초특별군 에 대하여

이다. (그러나 이 동형이 표준적일 필요는 없다.)

분류[편집]

임의의 소수 에 대하여, 모든 -초특별군은 크기 의 초중심곱들의 중십곱으로 표현된다. 즉, -초특별군의 분류는 크기 의 초특별군들의 분류로 귀결된다.

짝수 p[편집]

일 때, 크기 8의 두 2-초특급군은 다음 두 개이다.

(크기 8의 정이면체군)
(사원수군)

이들은 다음을 만족시킨다.

즉, 임의의 양의 정수 에 대하여, 크기 의 2-초특급군은 다음 두 개이다.

  • 짝수 개의 을 포함하는 것
  • 홀수 개의 을 포함하는 것

홀수 p[편집]

일 때, 크기 의 두 -초특급군은 다음 두 개이다.

에서, 반직접곱에 사용되는, 의, 위의 작용은 자명하지 않은 임의의 작용이다.

이들은 다음을 만족시킨다.

이에 따라, 임의의 주어진 크기에 대하여, -초특급군은 를 짝수 개 포함하는 것과 홀수 개 포함하는 것의 두 가지가 있다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]