일반위상수학 에서 집합족적 정규 공간 (영어 : collectionwise normal space )은 정규 공간 보다 강한 분리공리 를 만족시키는 위상 공간 이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간 은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합 들의 집합족
{
S
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족 (영어 : discrete family )이라고 한다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
{
i
∈
I
:
N
∩
S
i
≠
∅
}
{\displaystyle \{i\in I\colon N\cap S_{i}\neq \varnothing \}}
이 공집합 이거나 한원소 집합 인 근방
N
∋
x
{\displaystyle N\ni x}
이 존재한다.
{
cl
S
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{\operatorname {cl} S_{i}\}_{i\in I}}
는 서로소 집합족 이며, 임의의
J
⊆
I
{\displaystyle J\subseteq I}
에 대하여
⋃
j
∈
J
cl
S
j
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{j\in J}\operatorname {cl} S_{j}}
는 닫힌집합 이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합 들의 집합족
{
S
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족 (영어 : separated family ) 또는 거의 이산 집합족 (영어 : almost discrete family )이라고 한다.
임의의
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
에 대하여,
S
i
∩
cl
⋃
j
∈
I
∖
{
i
}
S
j
=
∅
{\displaystyle \textstyle S_{i}\cap \operatorname {cl} \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}S_{j}=\varnothing }
이다.
{
S
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}}
는
⋃
i
∈
I
S
i
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}}
의 이산 집합족이다.
모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족 이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족 이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
X
{\displaystyle X}
를 집합족적 정규 공간 이라고 한다.
임의의 닫힌집합 들의 이산 집합족
{
F
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
∀
i
∈
I
:
F
i
⊆
U
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}
인 열린집합 들의 서로소 집합족
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
이 존재한다.
임의의 닫힌집합 들의 이산 집합족
{
F
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
∀
i
∈
I
:
F
i
⊆
U
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}
인 열린집합 들의 이산 집합족
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
이 존재한다.
임의의 이산 집합족
{
F
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
∀
i
∈
I
:
F
i
⊆
U
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}
인 열린집합 들의 서로소 집합족
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
이 존재한다.
임의의 이산 집합족
{
F
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
∀
i
∈
I
:
F
i
⊆
U
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}
인 열린집합 들의 이산 집합족
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
이 존재한다.
만약
{
A
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}
가 이산 집합족이라면,
{
cl
A
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{\operatorname {cl} A_{i}\}_{i\in I}}
역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합 들의 이산 집합족
{
F
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
∀
i
∈
I
:
F
i
⊆
U
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}
인 열린집합 들의 서로소 집합족
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
이 존재한다고 가정하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
는 자명하게 정규 공간 이다. 또한,
{
F
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}}
는 닫힌집합 들의 국소 유한 집합족 이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합 이다. 따라서,
⋃
i
∈
I
F
i
⊆
V
⊆
cl
V
⊆
⋃
i
∈
I
U
i
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}F_{i}\subseteq V\subseteq \operatorname {cl} V\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}}
인 열린집합
V
⊆
X
{\displaystyle V\subseteq X}
가 존재한다. 그렇다면,
{
U
i
∩
V
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\cap V\}_{i\in I}}
는 열린집합 들로 이루어진 집합족이며,
∀
i
∈
I
:
F
i
⊆
U
i
∩
V
{\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}\cap V}
이다. 따라서
{
U
i
∩
V
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\cap V\}_{i\in I}}
가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
N
∩
U
i
≠
∅
{\displaystyle N\cap U_{i}\neq \varnothing }
인
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
가 하나 이하인 근방
N
∋
x
{\displaystyle N\ni x}
를 찾아야 한다. 만약
x
∉
cl
V
{\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} V}
라면,
N
=
X
∖
cl
V
{\displaystyle N=X\setminus \operatorname {cl} V}
를 취한다. 만약
x
∈
cl
V
{\displaystyle x\in \operatorname {cl} V}
라면,
N
{\displaystyle N}
을
x
∈
U
i
{\displaystyle x\in U_{i}}
인 유일한
U
i
{\displaystyle U_{i}}
로 잡을 수 있다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
X
{\displaystyle X}
를 완비 집합족적 정규 공간 (영어 : completely collectionwise normal space ) 또는 유전 집합족적 정규 공간 (영어 : hereditarily collectionwise normal space )이라고 한다.
X
{\displaystyle X}
의 모든 부분 집합 은 집합족적 정규 공간이다.
임의의 분리 집합족
{
S
i
}
i
∈
I
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
∀
i
∈
I
:
S
i
⊆
U
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon S_{i}\subseteq U_{i}}
인 열린집합 들의 서로소 집합족
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
이 존재한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간 은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간 은 파라콤팩트 공간 이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[1] :182, Theorem 10
순서 위상 을 가한 전순서 집합 은 단조 정규 하우스도르프 공간 이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상 을 준 최소의 비가산 순서수
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
은 완전 정규 공간 이 아니다.
집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간 이 존재한다.[1] :184, Example G
참고 문헌 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]