조르당 곡선정리

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조르당 곡선정리의 그림 예시. 조르당 곡선(그림의 검은색)은 평면을 "내부" 영역(밝은 파랑)과 "외부" 영역(분홍색)의 두 부분으로 분리한다.

조르당 곡선정리(Jordan curve theorem)는 평면 위에 있는 단순한 닫힌 곡선(simple closed curve)은 평면을 내부와 외부, 두 개의 영역으로 분할한다는 정리이다.

첫 증명은 1887년 카미유 조르당(Camille Jordan)의 저작 《Cours d'analyse de l'École Polytechnique》에 있는 증명으로[1], 이후 일부 수학자들이 조르당의 증명은 몇 가지 간단한 경우에 대한 부분을 생략했다다는 비판을 받기도 했으며, Oswald Veblen이 1905년에 생략된 부분 없는 증명을 발표하기도 했다.

정리[편집]

'단순하다'(simple)의 정의는 곡선이 자기 자신과 만나지 않을 때를 말한다. '닫힌 곡선'(closed curve)이란 곡선의 시작하는 점과 끝나는 점이 일치하는 것을 말한다.

수학적으로 표현하면 다음과 같다.

c\mathbb{R}^2위의 단순하고 닫혀 있는 곡선(즉, 조르당 곡선)이라 하자. 그러면 c여집합(complement)은 서로 다른 두 연결성분(connected components)으로 구성된다. 하나는 유계(bounded)이며, 다른 하나는 유계가 아니다. c는 각 부분의 경계가 된다.

조르당 곡선정리는 직관적으로는 당연해 보이는 정리이지만, 당시에는 증명하기에 어려웠으며 과정도 복잡했다. 삼각형이나 원과 같은 간단한 도형의 경우에는 미분을 이용해 증명하기가 어렵지 않지만, 코흐 곡선과 같이 모든 점에서 미분불가능한 곡선의 경우 문제가 된다.

주석[편집]

  1. 증명의 원문은 이곳에서 받을 수 있다. (PDF)