조르당 곡선 정리

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조르당 곡선 정리의 그림 예시. 조르당 곡선(그림의 검은색)은 평면을 "내부" 영역(밝은 파랑)과 "외부" 영역(분홍색)의 두 부분으로 분리한다.

위상수학에서, 조르당 곡선 정리(Jordan曲線定理, 영어: Jordan curve theorem)는 평면 위에 있는 단순 닫힌 곡선이 평면을 안과 밖 두 개의 영역으로 분할한다는 정리이다.

정의[편집]

위상 공간 X 위의 단순 닫힌 곡선연속 단사 함수 S^1\to X이다.

C\subset\mathbb R^2가 단순 닫힌 곡선이라고 하자. 조르당 곡선 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

역사[편집]

조르당 곡선 정리는 직관적으로는 당연해 보이는 정리이지만, 당시에는 증명하기에 어려웠으며 과정도 복잡했다. 삼각형이나 원과 같은 간단한 도형의 경우에는 미분을 이용해 증명하기가 어렵지 않지만, 코크 곡선과 같이 모든 점에서 미분 불가능한 곡선의 경우 문제가 된다.

첫 증명은 1887년 카미유 조르당이 교과서 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》(프랑스어: Cours d’analyse de l’École Polytechnique)에 수록하였다.[1] 이후 일부 수학자들이 조르당의 증명이 몇 가지 경우에 엄밀하지 못함을 지적하였으며, 오즈월드 베블런이 1905년에 최초로 완전히 엄밀한 증명을 발표하였다.

참고 문헌[편집]

  1. 증명의 원문은 이곳 에서 받을 수 있다. (PDF)