조르당 곡선 정리

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조르당 곡선 정리의 그림 예시. 조르당 곡선(그림의 검은색)은 평면을 "내부" 영역(밝은 파랑)과 "외부" 영역(분홍색)의 두 부분으로 분리한다.

위상수학에서, 조르당 곡선 정리(Jordan曲線定理, 영어: Jordan curve theorem)는 평면 위에 있는 단순 닫힌 곡선이 평면을 안과 밖 두 개의 영역으로 분할한다는 정리이다.

정의[편집]

위상 공간 X 위의 단순 닫힌 곡선연속 단사 함수 \mathbb S^1\to X이다.

C\subset\mathbb R^2가 단순 닫힌 곡선이라고 하자. 조르당 곡선 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

  • \mathbb R^2\setminus C는 두 개의 연결 성분 A_1,A_2\subset\mathbb R^2을 갖는다.
  • 두 연결 성분 가운데 하나는 유계 집합이며, 다른 하나는 유계 집합이 아니다. 유계 집합인 것을 A_1, 유계 집합이 아닌 것을 A_2라고 하자.
  • 두 연결 성분의 (\mathbb R^2에서의) 경계C이다. 즉, \partial A_1=\partial A_2=C이다.

또한, 다음과 같은 조르당-쇤플리스 정리(영어: Jordan–Schoenflies theorem)가 성립한다.

일반화[편집]

고차원에서는 다음과 같은 조르당-브라우어르 정리(영어: Jordan–Brouwer theorem)가 성립한다.

n차원 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간 \mathbb R^n로 가는 연속 단사 함수

f\colon\mathbb S^n\to\mathbb R^n

가 주어졌다고 하자. 조르당-브라우어르 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

그러나 고차원에서는 조르당-쇤플리스 정리가 성립하지 않으며, 알렉산더의 뿔 달린 구와 같은 반례가 존재한다. 이 경우, 알렉산더의 뿔 달린 구의 내부는 3차원 공과 위상 동형이지만, 외부는 3차원 공의 여집합과 위상 동형이 아니다.

역사[편집]

조르당 곡선 정리는 직관적으로 당연해 보이지만, 매끄러운 곡선이나 연속 미분 가능 곡선 따위가 아닌, 코크 곡선과 같은 임의의 연속 곡선에 대하여 증명하는 것은 대수적 위상수학의 도움 없이는 매우 어렵다. 또한, 마찬가지로 당연한 것처럼 생각되는 조르당-쇤플리스 정리는 고차원에서는 직관과 달리 성립하지 않는다.

첫 증명은 1887년 카미유 조르당이 교과서 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》(프랑스어: Cours d’analyse de l’École Polytechnique) 3권에 수록하였다.[1] 이후 일부 수학자들이 조르당의 증명이 몇 가지 경우에 엄밀하지 못함을 지적하였으며, 오즈월드 베블런이 1905년에 최초로 완전히 엄밀한 증명을 발표하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Jordan, Camille (1887). 〈39–45. Courbes continues〉 (PDF). 《Cours d’analyse de l’Ecole polytechnique. Tome troisième: Calcul intégral, équations différentielles》 (프랑스어). 파리: Gauthiers-Villars. 587–594쪽. 
  2. Veblen, Oswald (1905). “Theory on plane curves in non-metrical analysis situs”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 6 (1): 83–98. doi:10.2307/1986378. JSTOR 1986378. MR 1500697. 

바깥 고리[편집]