알렉산더의 뿔 달린 구

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알렉산더의 뿔달린 구

알렉산더의 뿔 달린 구(영어: Alexander horned sphere)는 수학에서 가장 유명한 병적인 예(pathological examples) 중의 하나로서, 1924년 제임스 워델 알렉산더가 발견하였다. 이것은 3차원 유클리드 공간에서 구를 특별한 방법으로 매장 것으로, 표준적인 원환면에서 다음과 같은 과정을 거친다.

  1. 원환면의 휘어진 한쪽 부분을 제거한다.
  2. 잘려진 각 면에 표준적인 구멍난 원환면을 각각 연결한다.
  3. 두 원환면을 붙이는 위 과정을 무한히 반복한다.

어느 단계에서도 제거되지 않는 점들을 고려한다면, 이 과정의 결과로 매장한 구에서 칸토어 집합이 제거된다.

내부를 포함한 뿔 달린 구는 위상적으로 3차원 이 되는데, 이를 알렉산더의 뿔 달린 공(Alexander horned ball)이라 부르고, 따라서 단일연결이다. 즉, 모든 루프는 공간 내부에서 한 점으로 축소가능하다. 그러나 외부는 보통 공의 외부와는 달리 단일연결이 아니다. 즉, 위의 구성에서 원환체에 걸린 폐곡선은 뿔 달린 구를 건드리지 않고 한 점으로 축소될 수 없다.