군론에서, 어떤 군의 자기 동형탑(自己同型塔, 영어: automorphism tower)은 자기 동형군을 반복적으로 취하여 만들어지는 군의 열이다.
군
의 자기 동형탑
은 다음과 같은 데이터들의 튜플이다.
- 순서수
에 대하여, 군 ![{\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e228cb8da36a607bb27c02f9aba7f2c38db89e65)
인 순서수
에 대하여, 군 준동형
. 또한,
인 경우,
는 항등 함수이다.
이는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle \operatorname {Aut} ^{0}(G)=G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee0370162fc18205527b5b095f571812e6b4c9d)
- 따름 순서수
에 대하여,
는
의 자기 동형군이다.
는 임의의
를 그에 대응하는 내부 자기 동형
으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다.
- 극한 순서수
에 대하여,
는 유향 체계
의 귀납적 극한이다.
군
의 자기 동형탑 높이(영어: automorphism tower height)
는 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수이다.
는 군의 동형이다. 즉,
는 완비군이다.
이 경우, 임의의 순서수
에 대하여
는 군의 동형이다. 즉,
는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다.
무중심군[편집]
임의의 군
에 대하여, 그 내부 자기 동형군은 자기 동형군의 정규 부분군을 이룬다. 만약
의 중심이 자명군이라면, 그 내부 자기 동형군의 자기 동형군에서의 중심화 부분군은 자명군이다.
![{\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {Aut} (G)}(\operatorname {Inn} (G))=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1aa871c1680cb7100475b624954f1a218c7855)
특히, 만약
의 중심이 자명군이라면,
의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 군 준동형
이 단사 함수인 조건과 동치이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군
의 자기 동형탑
![{\displaystyle G\vartriangleleft \operatorname {Aut} (G)\vartriangleleft \operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} (G))\vartriangleleft \dotsb \vartriangleleft \operatorname {Aut} ^{\omega }(G)\vartriangleleft \operatorname {Aut} ^{\omega +1}(G)\vartriangleleft \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9b80c1ab013081a6d8b82d1c0f8bce547e6b52)
은 점점 커지는 일련의 (정규) 부분군들의 열이다.
자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 충분조건은 다음과 같다.
- 만약
가 자명한 중심을 갖는 유한군이라면,
이다.
- 만약
가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, 영어: Chernikov group)이라면,
이다.
- 만약
가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, 영어: polycyclic group)이라면,
이다.
- 만약
가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면,
이다.[1]:95, Theorem 1.6
임의의 무한 기수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기
의 군
의 자기 동형탑 높이는
미만이며 (여기서,
는
의 따름 기수이다), 이는 선택 공리를 필요로 하지 않는다.[2] 또한, 임의의 순서수
에 대하여, 자기 동형탑 높이가
인, 크기
의 자명한 중심을 갖는 군
가 존재한다. 즉,
에 대하여,
가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자.
- 임의의 크기
의 자명한 중심을 갖는 군
에 대하여, ![{\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d840c91ef6127ee83e6f4a62881c05ce455c1f2)
그렇다면, 위 결론들에 따라
이다. 하지만 크기
의 자명한 중심을 갖는 군은
개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다.
![{\displaystyle \kappa ^{+}\leq \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )<(2^{\kappa })^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a4b805aedbc1c1d89fdc6a7c18fee0c290cce4)
즉,
는 크기
의 무중심군의 자기 동형군 높이
에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약
가 비가산 기수라면,
는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 명제
를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 강제법을 사용하여 보일 수 있다.[3]:245, Theorem 1.4 (이러한 일이 가능한 것은
의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.)
일반적인 군[편집]
임의의 군
에 대하여,
의 중심이 자명군인 순서수
가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다.
참고 문헌[편집]