유한합

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수학에서, 유한합(有限合, 영어: finite sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 가 쓰인다.

정의[편집]

유한 수열 유한합

은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, 유한 집합 로 첨수된 수들의 집합 유한합은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.

여기서 크기이며, 는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 의 선택과 무관하기 때문이다.

집합 및 그 위의 성질 에 대하여, 원소 가 성질 를 만족시킨다는 것을 로 쓰자. 만약 집합 가 유한 집합일 경우, 유한합

와 같이 표기할 수 있다.

성질[편집]

항등식[편집]

합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

  • (점화식)
  • (덧셈의 보존)
  • (분배 법칙)
  • (선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.)
  • (푸비니 정리)

그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

부등식[편집]

실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

  • (코시-슈바르츠 부등식)
  • (횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.)
  • (민코프스키 부등식)

증명 (코시-슈바르츠 부등식):

증명 (횔더 부등식):

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명 (민코프스키 부등식):

다음과 같은 를 취하자.

그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

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일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

다항식[편집]

  • (상수열의 유한합)
  • (등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.)
  • (제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.)
  • (세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리(영어: Nicomachus's theorem)라고 한다.)
  • (네제곱수의 유한합)
  • (다섯제곱수의 유한합)
  • (여섯제곱수의 유한합)
  • (일곱제곱수의 유한합)
  • (임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식(영어: Faulhaber's formula)이라고 한다. 여기서 번째 베르누이 수이다.)

증명 (세제곱 합):

항등식

을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.

유리식[편집]

  • (조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.)

지수 함수[편집]

  • (등비수열의 유한합)
  • (등차-등비 수열의 유한합)
  • (삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵(영어: Dirichlet kernel)이라고 한다.)

이항 계수[편집]

  • (이항 계수의 유한합)
  • (하강 계승의 유한합)

같이 보기[편집]