유리형 함수

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복소해석학에서, 유리형 함수(有理型函數, 영어: meromorphic function)는 극점을 가질 수 있지만 본질적 특이점을 가지지 않고, 특이점을 제외한 다른 모든 점에서 정칙인 복소 함수다.

정의[편집]

리만 곡면(1차원 복소다양체)이라고 하자. 리만 구 (무한대 를 추가한 복소평면)라고 하자. 그렇다면 위의 유리형 함수정칙함수 이다. 즉, 유리형 함수는 극(pole)을 제외하고는 나머지 모든 점에서 (값을 가진) 정칙함수인 함수다.

성질[편집]

콤팩트하지 않은 리만 곡면 위의 유리형 함수는 두 정칙 함수다.

콤팩트 리만 곡면에서는 모든 정칙 함수상수 함수지만, 상수 함수가 아닌 유리형 함수가 존재한다. 리만 구 위의 유리형 함수는 모두 유리 함수다. 복소 타원 곡선도 콤팩트 리만 곡면의 일종인데, 타원 곡선 위의 유리형 함수를 타원 함수라고 한다.

유리형 함수는 모든 점에서 로랑 급수로 전개할 수 있으며, 그 주부(principal part)는 유한개의 항만을 포함한다.

연결 리만 곡면 위의 유리형 함수들의 집합은 를 이루며, 이는 (상수 함수로 간주한) 복소수체의 확대이다.

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복소해석학에서 다루는 대부분의 함수는 유리형 함수다.

모든 유리 함수

(, 다항식)

는 유리형 함수다. 감마 함수리만 제타 함수는 유리 함수가 아니지만 유리형 함수이다.

함수 에서 극이 아닌 본질적 특이점(essential singularity)를 가지므로, 복소평면에서 유리형 함수가 아니다. (물론 0을 제외한 복소평면 위에서는 유리형 함수이자 정칙 함수다.)

바깥 고리[편집]