완전체

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추상대수학에서 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 체이다.

정의

체 $K$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 완전체라고 하며, 완전체가 아닌 체를 불완전체(영어: imperfect field)라고 한다.

• $K$에 대한 기약 다항식은 분리 가능하다.
• $K$의 모든 유한 확대는 분리 가능 확대이다.
• $K$의 모든 대수적 확대는 분리 가능 확대이다.
• $K$의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 $p>0$인 경우 모든 $a\in K$에 대하여 $b^{p}=a$인 $b$가 존재한다.
• $K$의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 $p>0$인 경우 프로베니우스 사상 $a\mapsto a^{p}$이 $K$의 자기 동형 사상을 이룬다.

보다 일반적으로, 표수가 0이거나, 아니면 양의 소수 표수를 가지며 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상을 이루는 가환환을 완전환(完全環, 영어: perfect ring)이라고 한다. (이는 하이먼 배스가 도입한 "완전환" 개념과는 다른 개념이다.)

완전 폐포

양의 표수 $p$의 체 $K$에 대하여, $K$를 포함하는 ${\bar {K}}$ 속의 가장 작은 체를 완전 폐포(完全閉包, 영어: perfect closure) $K^{p^{-\infty }}$라고 한다. 이는 $k$에 모든 $n=1,2,3,\dots$에 대한 $p^{n}$제곱근을 첨가하여 얻는다.

$K^{p^{-\infty }}=K\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\{a^{p^{-n}}\colon a\in K\}\right)\subseteq {\bar {K}}$

보다 일반적으로, 소수 표수 $p$의 가환환 $R$의 완전 폐포 $\iota \colon R\to R^{p^{-\infty }}$는 $R$를 포함하는 가장 작은 완전환이다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

임의의 표수 $p$의 완전환 $S$ 및 환 준동형 $\iota '\colon R\to S$에 대하여, $\iota '=f\circ \iota$가 되는 환 준동형 $f\colon R^{p^{-\infty }}\to S$가 유일하게 존재한다.

${\begin{matrix}R^{p^{-\infty }}&{\xrightarrow {\exists !}}&S\\\uparrow &\nearrow \\R\end{matrix}}$

이는 항상 존재하며, 체의 경우와 마찬가지로 모든 $p^{n}$제곱근들을 첨가하여 얻는다.

예

대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.

• 표수가 0인 체는 완전체이다. 따라서, 실수체·복소수체·p진수체 등이 모두 완전체이다.
• 모든 유한체 $\mathbb {F} _{p^{n}}$ 또한 완전체이다.
• 모든 대수적으로 닫힌 체는 (표수가 0이 아니더라도) 완전체이다.

완전체가 아닌 체의 예로는 표수가 $p$인 체 $K$에 대한 유리 함수체 $K(x)$가 있다. $x\in K(x)$의 경우 ${\sqrt[{p}]{x}}$가 존재하지 않기 때문이다.

외부 링크

• “Perfect field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Perfect field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Perfect field”. 《nLab》 (영어).