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시그마 콤팩트 공간

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일반위상수학에서 시그마 콤팩트 공간(σ-compact空間, 영어: sigma-compact space)은 콤팩트 공간의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다.

정의

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시그마 콤팩트 공간

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위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다.

혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정한다.[1]:289

반콤팩트 공간

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위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다.

  • 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 가 존재한다.
    • 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 인 자연수 이 존재한다.

즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

성질

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다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다.

증명:

국소 콤팩트 린델뢰프 공간 가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라,

열린 덮개 콤팩트 집합들의 집합족 가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, 의 가산 부분 덮개 를 잡자. 이제,

은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 에 포함된다. 즉, 는 반콤팩트 공간이다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.

증명:

귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 국소 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 을 잡자.

  • 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 인 자연수 이 존재한다.

귀류법의 가정에 따라, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 를 잡자. 제1 가산성에 따라, 의 가산 국소 기저

를 잡자. 임의의 에 대하여 을 고르자. 그렇다면,

콤팩트 집합이지만, 어떤 에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.[2]:126, Exercise 17I.3 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.

증명:

만약

이며, 콤팩트 집합이라면,

이며, 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 , 에 대하여, , 이 존재하며,

가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 에 대하여,

이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.[1]:316

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가산 무한 이산 공간 은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.[2]:126, Exercise 17I.3

증명:

곱공간을 로 적고, 사영 함수들을

로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의 에 대하여

를 잡자. 그렇다면,

이므로, 는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

조르겐프라이 직선린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

증명:

만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다.

유리수 집합 는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.

증명:

이는 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다.

참고 문헌

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  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Willard, Stephen (1970). 《General topology》. Addison-Wesley Series in Mathematics (영어). Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. Zbl 0205.26601. 

외부 링크

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