일반위상수학 에서 시그마 콤팩트 공간 (σ-compact空間, 영어 : sigma-compact space )은 콤팩트 공간 의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간 이라고 한다.
가산 개 의 콤팩트 집합 들의 합집합 이다. 즉,
X
=
⋃
i
=
0
∞
K
i
{\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }K_{i}}
인 콤팩트 집합 의 열
K
0
,
K
1
,
⋯
⊆
X
{\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X}
가 존재한다.
혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정한다.[ 1] :289
위상 공간
X
{\displaystyle X}
가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간 이라고 한다.
다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합 의 열
K
0
,
K
1
,
⋯
⊆
X
{\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X}
가 존재한다.
임의의 콤팩트 집합
K
⊆
X
{\displaystyle K\subseteq X}
에 대하여,
K
⊆
K
i
{\displaystyle K\subseteq K_{i}}
인 자연수
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
이 존재한다.
즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간
모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간 은 반콤팩트 공간이다.
국소 콤팩트 린델뢰프 공간
X
{\displaystyle X}
가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라,
U
i
⊆
K
i
(
∀
i
∈
I
)
{\displaystyle U_{i}\subseteq K_{i}\qquad (\forall i\in I)}
인 열린 덮개
(
U
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}
및 콤팩트 집합 들의 집합족
(
K
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (K_{i})_{i\in I}}
가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라,
(
U
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}
의 가산 부분 덮개
{
i
0
,
i
1
,
…
}
⊆
I
{\displaystyle \{i_{0},i_{1},\dots \}\subseteq I}
를 잡자. 이제,
C
n
=
K
i
0
∪
⋯
∪
K
i
n
(
n
∈
N
)
{\displaystyle C_{n}=K_{i_{0}}\cup \cdots \cup K_{i_{n}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}
은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합
K
⊆
X
{\displaystyle K\subseteq X}
는
{
U
i
0
,
U
i
1
,
…
}
{\displaystyle \{U_{i_{0}},U_{i_{1}},\dots \}}
의 유한 개 원소의 합집합 에 포함되므로, 어떤
C
n
{\displaystyle C_{n}}
에 포함된다. 즉,
X
{\displaystyle X}
는 반콤팩트 공간이다.
모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간 이다.
귀류법 을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간
X
{\displaystyle X}
가 국소 콤팩트 공간 이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합 의 열
K
0
,
K
1
,
⋯
⊆
X
{\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X}
을 잡자.
임의의 콤팩트 집합
K
⊆
X
{\displaystyle K\subseteq X}
에 대하여,
K
⊆
K
i
{\displaystyle K\subseteq K_{i}}
인 자연수
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
이 존재한다.
귀류법의 가정에 따라, 콤팩트 근방 이 존재하지 않는 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
를 잡자. 제1 가산성에 따라,
x
{\displaystyle x}
의 가산 국소 기저
U
0
⊇
U
1
⊇
⋯
{\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq \cdots }
를 잡자. 임의의
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여
x
n
∉
U
n
∖
K
n
{\displaystyle x_{n}\not \in U_{n}\setminus K_{n}}
을 고르자. 그렇다면,
K
=
{
x
}
∪
{
x
0
,
x
1
,
…
}
{\displaystyle K=\{x\}\cup \{x_{0},x_{1},\dots \}}
는 콤팩트 집합 이지만, 어떤
K
n
{\displaystyle K_{n}}
에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다.
시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합 은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합 은 반콤팩트 공간이다.
유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간 은 시그마 콤팩트 공간이다.[ 2] :126, Exercise 17I.3 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간 은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.
만약
X
=
⋃
i
=
0
∞
X
i
{\displaystyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }X_{i}}
Y
=
⋃
i
=
0
∞
Y
i
{\displaystyle Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }Y_{i}}
이며,
X
i
,
Y
i
{\displaystyle X_{i},Y_{i}}
가 콤팩트 집합 이라면,
X
×
Y
=
⋃
i
=
0
∞
⋃
j
=
0
∞
X
i
×
Y
j
{\displaystyle X\times Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }\bigcup _{j=0}^{\infty }X_{i}\times Y_{j}}
이며,
X
i
×
Y
j
{\displaystyle X_{i}\times Y_{j}}
는 콤팩트 집합 들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
,
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
에 대하여,
A
⊆
X
i
A
{\displaystyle A\subseteq X_{i_{A}}}
,
B
⊆
Y
j
B
{\displaystyle B\subseteq Y_{j_{B}}}
인
i
A
,
j
B
∈
N
{\displaystyle i_{A},j_{B}\in \mathbb {N} }
이 존재하며,
p
:
X
×
Y
→
X
{\displaystyle p\colon X\times Y\to X}
q
:
X
×
Y
→
Y
{\displaystyle q\colon X\times Y\to Y}
가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합
K
⊆
X
×
Y
{\displaystyle K\subseteq X\times Y}
에 대하여,
K
⊆
p
(
K
)
×
q
(
K
)
⊆
X
i
p
(
K
)
×
Y
j
q
(
K
)
{\displaystyle K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}}
이다.
시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원 을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.[ 1] :316
가산 무한 이산 공간
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간
N
ℵ
0
{\displaystyle \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}}
은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.[ 2] :126, Exercise 17I.3
곱공간을
N
ω
{\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}
로 적고, 사영 함수들을
p
i
:
N
ω
→
N
(
i
<
ω
)
{\displaystyle p_{i}\colon \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {N} \qquad (i<\omega )}
로 적자. 임의의 콤팩트 집합 의 열
K
0
,
K
1
,
⋯
⊆
N
ω
{\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq \mathbb {N} ^{\omega }}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
p
i
(
K
j
)
{\displaystyle p_{i}(K_{j})}
는
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
의 콤팩트 집합 이므로, 유한 집합 이다. 이제, 임의의
i
<
ω
{\displaystyle i<\omega }
에 대하여
n
i
∈
N
∖
p
i
(
K
i
)
{\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} \setminus p_{i}(K_{i})}
를 잡자. 그렇다면,
(
n
i
)
i
<
ω
∉
K
0
∪
K
1
∪
⋯
{\displaystyle (n_{i})_{i<\omega }\not \in K_{0}\cup K_{1}\cup \cdots }
이므로,
N
ω
{\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}
는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.
조르겐프라이 직선 은 린델뢰프 공간 이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.
유리수 집합
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.