베로네세 매장

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대수기하학에서, 베로네세 매장(Veronese埋藏, 영어: Veronese embedding)은 사영 공간을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 매장하는 방법이다.

정의[편집]

n이 양의 정수이고,

m=\binom{n+d}d-1

이라고 하자. \mathbb CP^n동차좌표(x_0,x_1,\dots,x_n)이라고 하자. 그렇다면 이들 변수로 가능한 모든 d차항들을 나열한다.

x_0^d,x_0^{d-1}x_1,\dots,x_0x_1^{d-1},x_0x_1^{d-2}x_2,\dots,x_{n-1}x_n^{d-1},x_n^d

이는 모두 m개가 있음을 보일 수 있다. 이를 \mathbb CP^m의 좌표로 삼아, 매장 \nu_d\colon \mathbb CP^n\to\mathbb CP^m을 정의할 수 있다. 이를 베로네세 매장(Veronese embedding)라고 한다.

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자명한 베로네세 사상[편집]

차수 d가 0일 경우, 베로네세 사상 \mathbb P^n\to\mathbb P^0상수 함수이며, d=1일 경우 베로네세 사상 \mathbb P^n\to\mathbb P6n항등 함수이다.

유리 정규 곡선[편집]

뒤틀린 3차 곡선. 3차원 아핀 공간의 좌표를 (X,Y,Z)로 잡으면, 푸른 곡면은 Y=Z^2으로 정의되는 곡면이며, 붉은 곡면은 X=Z^3으로 정의되는 곡면이다. 뒤틀란 3차 곡선은 이 두 곡면의 교집합이다.

n=1일 영우, 베로네세 사상

\mathbb P^1\to\mathbb P^d

d차원 사영 공간 속의 d유리 곡선을 정의하며, 이를 유리 정규 곡선(有理正規曲線, 영어: rational normal curve)이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.

  • d=1인 경우 이는 항등 함수이다.
  • d=2인 경우, [X,Y,Z]=[x^2,xy,y^2]라고 놓으면, Y^2=XZ가 된다. 이는 사영 평면 속의 원뿔 곡선을 정의한다.
  • d=3인 경우, [X,Y,Z,W]=[x^3,x^2y,xy^2,y^3]라고 놓으면, XZ-Y^2=XW-YZ=YW-Z^2=0이며, 이는 뒤틀린 3차 곡선(영어: twisted cubic)이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.

여기서 "정규"는 정규 스킴과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.

베로네세 곡면[편집]

사영 평면 \mathbb P^2를 5차원 사영 공간 \mathbb P^5에 매장한 것을 베로네세 곡면(Veronese曲面, 영어: Veronese surface)이라고 한다.

(x,y,z)\mapsto(x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)

베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면이 존재한다. 이 초평면을 정의하는, (x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)에 대한 1차 동차다항식은 (x,y,z)에 대한 2차 동차다항식을 이루며, 따라서 원래 사영 평면에서의 원뿔 곡선을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.

역사[편집]

이탈리아의 수학자 주세페 베로네세의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]