작용소 이론에서 대칭 작용소(對稱作用素, 영어: symmetric operator)는 스스로의 정의역 위에서, 스스로가 에르미트 수반과 일치하는 작용소이다.[1] 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. 자기 수반 작용소의 개념과 달리, 그 정의역이 에르미트 수반의 정의역보다 더 작을 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
(실수체 또는 복소수체 가운데 하나)
-위상 벡터 공간 ![{\displaystyle E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
의 조밀 부분 벡터 공간 ![{\displaystyle \operatorname {dom} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9fdac03c6fc6670f5026602c0be497eb973bed)
-선형 변환 ![{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to E^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbf083d4944e4b3bb05f2d341e86532e4da27d9)
만약
가 다음 조건을 만족시킨다면,
를 대칭 작용소라고 한다.
![{\displaystyle \langle Ax|y\rangle ={\overline {\langle Ay|x\rangle }}\qquad \forall x,y\in \operatorname {dom} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea854ba518ec104090f4b55424fe9f2c354e0a4)
여기서
는
의 연속 쌍대 공간이다.
는
일 경우 복소켤레이며,
일 경우 항등 함수이다.
는
와
사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.
힐베르트 공간의 경우[편집]
가 힐베르트 공간이라고 하자. 리스 표현 정리에 따라
이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.
-힐베르트 공간
의 조밀 부분 벡터 공간
에 정의된 선형 변환
![{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cbff8f3eb865726fe61f18706b15b953a09ad8)
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:58–59
는 대칭 작용소이다.
- 모든
에 대하여,
이다.
이며, 모든
에 대하여
이다. 여기서
는 에르미트 수반이다.
힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상
이며, 따라서
역시 조밀 집합이다.
대칭 작용소
의 경우,
일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 자기 수반 작용소의 개념을 얻는다.
함의 관계[편집]
힐베르트 공간
의 조밀 부분 벡터 공간
위에 정의된 작용소
들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우
이다. 즉, 헬링거-퇴플리츠 정리(영어: Hellinger–Toeplitz theorem)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.[1]:67
유한 차원 힐베르트 공간
위의 작용소
에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
는 대칭 작용소이다.
는 자기 수반 작용소이다.
의 행렬은 에르미트 행렬이다.
결점 지표[편집]
복소수 힐베르트 공간
위의 대칭 작용소
![{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cbff8f3eb865726fe61f18706b15b953a09ad8)
를 생각하자. 즉, 부분 공간
![{\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} A^{*}\subseteq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b623c83827f71753e79d085c915bb6607212ca)
이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.
![{\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {im} (A\pm \mathrm {i} )^{\perp }=\left\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname {dom} A\colon \langle y|A|x\rangle =-\mathrm {i} \langle y|x\rangle \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774409c0f59aea761d73e8d08e1723a2e372db97)
이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원
![{\displaystyle \dim N_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c88a508a3a98a2be96982b9e7bc60efb0287e96)
을
의 결점 지표(缺點指標, 영어: deficiency index)라고 한다.
폰 노이만 공식(영어: von Neumann formula)에 따르면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle N_{\pm }=\ker(A^{*}\mp \mathrm {i} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fa8cf5db3b189fa73390229bc60c63003633b1)
대칭 확장[편집]
-힐베르트 공간
위의 대칭 작용소
의 대칭 확장(對稱擴張, 영어: symmetric extension)은 다음을 만족시키는 작용소
이다. 이 경우
라고 표기하자.
![{\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656628bf03500bb71584a59085340c4a8d7c5024)
![{\displaystyle \forall v\in \operatorname {dom} A\colon Av={\tilde {A}}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535f0dfffb1b465a38d8409581b50f15e48472ec)
즉, 이는
![{\displaystyle \operatorname {graph} A\subseteq \operatorname {graph} {\tilde {A}}\subseteq H\oplus H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620b4154d37b23b42d96fd2321759af6ade54ad)
인 조건과 같다.
대칭 확장 관계를 통해,
위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.
라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소
의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.[1]:81–84
![{\displaystyle U\colon N_{+}\to N_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e8131d20588b737a16f71926645cbe09e3ce14)
특히,
가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 같은 것이다.
![{\displaystyle \dim N_{+}=\dim N_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de39ae3b72c1e5b6b8c6d9a1bdab1d90ee5a5a4e)
또한,
가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.
![{\displaystyle 0=\dim N_{+}=\dim N_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50303b73189a6495512b8f9480821d25d170d72)
다음을 생각하자.
![{\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([0,1];\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0484b3f3d37a012eea8225c00c594d2541cd5f)
![{\displaystyle \operatorname {dom} A=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)=0\}\subsetneq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748428b7ac2c309c87c51d5e09991ebb95166dfe)
![{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cbff8f3eb865726fe61f18706b15b953a09ad8)
![{\displaystyle A\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2f97de7db36dd6b282e2690127429c94797717)
그렇다면,
는 대칭 작용소이다. 이 경우,
은 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다.
![{\displaystyle \mp {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68cc1dde094031541cbdc8e10533a18231780478)
이는 각각 1차원이며, 구체적으로
![{\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {Span} \{x\mapsto \exp(\mp x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bc90dfce798d3a45f92dc8f5f5b08e49f501ee)
이다. 따라서
는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은
과 동형이다.
구체적으로,
![{\displaystyle \operatorname {dom} {\tilde {A}}=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)\}\subsetneq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60c8995e027829f6529d29af9215f6281ea5705)
![{\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} A\to H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d146f759459f27bc0aa7bb10960f6040fd119ada)
![{\displaystyle {\tilde {A}}\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5829200db7f24d0fa9bf59d73eb8ec4071f4d9)
을 생각하자. 이는
의 대칭 확장인데, 이 경우
이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.
- 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1.
- Berezin, F. A.; M. A. Shubin (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer.
- Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer.
- Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press.
- Bonneau, Guy; Jacques Faraut, Galliano Valent (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.
외부 링크[편집]