대응 정리

추상대수학에서, 대응 정리(영어: correspondence theorem)는^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] 또는 제4 동형 정리(영어: fourth isomorphism theorem)^[9] 또는 격자 정리(영어: lattice theorem)는 몫 대수 구조의 합동 관계들을 묘사하는 정리이다.

정의[편집]

대수 구조 $A$ 와 그 위의 합동 관계 ${\sim }\in \operatorname {Cong} (A)$ 가 주어졌다고 하자. 대응 정리에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.^[10]^{:49, Theorem 6.20}

몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 $\operatorname {Cong} (A/{\sim })$
$A$ 의 합동 관계들 가운데, ${\sim }$ 에 의하여 함의되는 것들의 격자 $\mathop {\uparrow } {\sim }=\{{\sim }'\in \operatorname {Cong} (A)\colon \forall a,b\in A\colon a\sim b\implies a\sim 'b\}$ . 이는 $A$ 의 합동 관계 격자 $\operatorname {Cong} (A)$ 의 부분 격자를 이룬다.

두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

\mathop {\uparrow } {\sim }\to \operatorname {Cong} (A/{\sim })

{\sim }'\mapsto {\sim }'/{\sim }

여기서 ${\sim }'/{\sim }$ 은 다음과 같은 $A/{\sim }$ 위의 이항 관계다.

[a]_{\sim }\mathrel {{\sim }'/{\sim }} [b]_{\sim }\iff a\sim 'b

즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

만약 ${\sim }'$ 이 ${\sim }$ 을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계라면, ${\sim }'/{\sim }$ 은 $A/{\sim }$ 위의 합동 관계이다.
$A/{\sim }$ 위의 모든 합동 관계는 어떤 ${\sim }$ 을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계 ${\sim }'$ 에 대하여 ${\sim }'/{\sim }$ 의 꼴로 나타낼 수 있다.
${\sim }$ ${\sim }$ 을 포함하는 $A$ $A$ 위의 합동 관계 ${\sim }_{1},{\sim }_{2}\in \mathop {\uparrow } {\sim }$ ${\sim }_{1},{\sim }_{2}\in \mathop {\uparrow } {\sim }$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
- $a\sim _{1}b$ 가 $a\sim _{2}b$ 를 함의하는 것과 $a\mathrel {{\sim }_{1}/{\sim }} b$ 는 $a\mathrel {{\sim }_{2}/{\sim }} b$ 를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
- $({\sim }_{1}\vee {\sim }_{2})/{\sim }={\sim }_{1}/{\sim }\vee {\sim }_{2}/{\sim }$ . 여기서 ${\sim }_{1}\vee {\sim }_{2}$ 는 $\sim _{1}$ 과 $\sim _{2}$ 로 생성되는 합동 관계이다.
- $({\sim }_{1}\cap {\sim }_{2})/{\sim }={\sim }_{1}/{\sim }\cap {\sim }_{2}/{\sim }$ . 여기서 ${\sim }_{1}\cap {\sim }_{2}$ 는 $a\mathrel {{\sim }_{1}\cap {\sim }_{2}} b\iff a\sim _{1}b\land a\sim _{2}b$ 로 정의된다.

대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.

군 $G$ 및 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 에 대하여, $N$ 을 포함하는 $G$ 의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수

\mathop {\uparrow } N=\{H\leq G\colon N\subseteq H\}\to \operatorname {Sub} (A/N)

H\mapsto H/N=\{hN\colon h\in H\}

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

환 $R$ 및 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$ 에 대하여, ${\mathfrak {a}}$ 를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수

\mathop {\uparrow } {\mathfrak {a}}=\{S\in \operatorname {Sub} (R)\colon {\mathfrak {a}}\subset S\}\to \operatorname {Sub} (R/{\mathfrak {a}})

S\mapsto S/{\mathfrak {a}}=\{s+{\mathfrak {a}}\colon s\in S\}

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$S\mapsto S+{\mathfrak {a}}$ $S\mapsto S+{\mathfrak {a}}$ 는 격자의 동형 사상이다. 즉,
- 임의의 부분환 ${\mathfrak {a}}\subset S\subset R$ 에 대하여, $S/{\mathfrak {a}}$ 는 $R/{\mathfrak {a}}$ 의 부분환이다.
- 임의의 부분환 $T\subset R/{\mathfrak {a}}$ 에 대하여, $T=S/{\mathfrak {a}}$ 인 부분환 ${\mathfrak {a}}\subset S\subset R$ 가 존재한다.
- 임의의 부분환 ${\mathfrak {a}}\subset S,T\subset R$ ${\mathfrak {a}}\subset S,T\subset R$ 에 대하여,
  - $S\subset T$ 일 필요충분조건은 $S/{\mathfrak {a}}\subset T/{\mathfrak {a}}$ 이다.
  - $\langle S\cup T\rangle /{\mathfrak {a}}=\langle S/{\mathfrak {a}}\cup T/{\mathfrak {b}}\rangle$ . 여기서 $\langle S\cup T\rangle$ 는 $S\cup T$ 로 생성된 부분환이다.
  - $(S\cap T)/{\mathfrak {a}}=S/{\mathfrak {a}}\cap T/{\mathfrak {a}}$
$S$ 가 $R$ 의 아이디얼일 필요충분조건은 $S/{\mathfrak {a}}$ 가 $R/{\mathfrak {a}}$ 의 아이디얼인 것이다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 및 부분 가군 $N\subset M$ 에 대하여, $N$ 을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수

\mathop {\uparrow } N=\{N'\in \operatorname {Sub} (M)\colon N\subset N'\}\to \operatorname {Sub} (M/N)

N'\mapsto N'/N=\{m+N\colon m\in N'\}

는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

임의의 부분 가군 $N\subset N'\subset M$ 에 대하여, $N'/N$ 는 $M/N$ 의 부분 가군이다.
임의의 부분 가군 $N''\subset M/N$ 에 대하여, $N''=N'/N$ 인 부분 가군 $N\subset N'\subset M$ 가 존재한다.
임의의 부분 가군 $N\subset N',N''\subset M$ $N\subset N',N''\subset M$ 에 대하여,
- $N'\subset N''$ 일 필요충분조건은 $N'/N\subset N''/N$ 이다.
- $(N'+N'')/N=N'/N+N''/N$
- $(N'\cap N'')/N=N'/N\cap N''/N$

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