극성화와 반환

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가환대수학에서, 극성화(極性化, 영어: polarization)는 동차 다항식에 변수를 추가하여 다중 선형 다항식으로 변환시키는 연산이다. 반환(返還, 영어: restitution)은 극성화의 반대 연산이며, 다중 선형 다항식을 동차 다항식으로 변환시킨다.

정의[편집]

개의 변수에 대한 동차 다항식이고, 계승 가역원가환환이라고 하자. 그렇다면 의 원소로 여길 수 있다. 극성화

는 다음과 같다.

극성화의 반대 연산은 반환이다. 개의 변수를 갖는 다항식

반환 는 다음과 같다.

성질[편집]

라고 쓰자. 그렇다면, 각 에 대하여 에 대한 선형 함수이다. 또한, 대칭군 의 작용 (순열)에 대하여 불변이다.

표수가 0인 라고 하고, 차원 -벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 다항식환 은 차수에 따라 등급환이 된다.

이 경우, 극성화는 표준적 동형사상

을 정의한다. 또한, 극성화는 -대수 구조와 호환되므로, -등급대수로서 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

[편집]

1변수 단항식 에 대하여, 극성화는 항등 함수이다. 마찬가지로, 선형 함수 ()에 대하여, 극성화는 항등 함수이다.

2변수 이차 형식

의 극성화는 다음과 같다.

2변수 3차 동차 다항식

의 극성화는 다음과 같다.

응용[편집]

극성화와 반환은 대수기하학, 특히 불변량 이론에서 쓰인다.

참고 문헌[편집]