구부러진 공간 (영어 : Curved space )은 종종 유클리드 기하학 에서 설명한 것처럼 평평한 공간 의 곡률 이 0인 "평면"이 아닌 공간 기하학을 나타낸다. 구부러진 공간은 일반적으로 리만 기하학 으로 설명할 수 있지만 일부 간단한 경우는 다른 방식으로 설명할 수 있다. 구부러진 공간은 중력 이 종종 구부러진 공간으로 시각화되는 일반 상대성이론 에서 필수적인 역할을 한다. 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량 은 공간 확장 과 우주의 모양 을 설명하기 위한 현재 기반을 형성하는 계량이다.
간단한 2차원 예 [ 편집 ] 구부러진 공간의 매우 친숙한 예는 구의 표면이다. 우리에게 친숙한 관점에서 볼 때 구체는 3차원으로 보이지만 물체가 표면에 놓이도록 제한되어 있으면 이동할 수 있는 2차원만 있다. 구의 표면은 표면이 아무리 거칠게 보일지라도 부피의 2차원 외부 경계인 표면일 뿐이므로 2차원으로 완전히 설명할 수 있다. 복잡한 프랙탈인 지구 표면조차도 부피 외부를 따라 있는 2차원 경계일 뿐이다.
평평한 공간에서 직각 삼각형의 한 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다. 이 관계는 구부러진 공간에는 적용되지 않는다. 구부러진 공간의 정의의 특성 중 하나는 피타고라스 정리 에서 벗어난다는 것이다. 구부러진 공간에서는
d
x
2
+
d
y
2
≠
d
l
2
{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}
피타고라스의 관계는 추가 차원으로 공간을 설명함으로써 종종 복원될 수 있다. 좌표
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle \left(x',y',z'\right)}
d
x
′
2
+
d
y
′
2
+
d
z
′
2
≠
d
l
′
2
{\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}
그러나 이제 3차원 공간을 4차원
(
x
,
y
,
z
,
w
)
{\displaystyle (x,y,z,w)}
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
+
d
w
2
=
d
l
2
{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}
참고로 좌표
x
{\displaystyle x}
x
′
{\displaystyle x'}
않다 .
4차원 좌표를 원래 3차원 공간의 유효한 설명자로 선택하려면 동일한 자유도를 가져야 한다. 4개의 좌표에는 4개의 자유도가 있으므로 구속 조건이 있어야 한다. 피타고라스 정리가 새로운 4차원 공간에서 유지되도록 제약 조건을 선택할 수 있다. 즉,
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
=
constant
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,}
상수는 양수 또는 음수일 수 있다. 편의상 상수를 다음으로 선택할 수 있다.
κ
−
1
R
2
{\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}
R
2
{\displaystyle R^{2}\,}
κ
≡
±
1
{\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}
이제 이 제약 조건을 사용하여 인위적인 네 번째 좌표
w
{\displaystyle w}
x
d
x
+
y
d
y
+
z
d
z
+
w
d
w
=
0
{\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}
d
w
=
−
w
−
1
(
x
d
x
+
y
d
y
+
z
d
z
)
{\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}
d
w
{\displaystyle dw}
d
l
2
=
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
+
(
x
d
x
+
y
d
y
+
z
d
z
)
2
κ
−
1
R
2
−
x
2
−
y
2
−
z
2
{\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}
이 형식은 일반적으로 특별히 매력적이지 않으므로 좌표 변환
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
{\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle z=r\cos \theta }
d
l
2
=
d
r
2
1
−
κ
r
2
R
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}
매장없이 [ 편집 ] n차원 공간의 기하학은 리만 기하학 으로도 설명할 수 있다. 등방적 이고 균질한 공간은 다음 계량
d
l
2
=
e
−
λ
(
r
)
d
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}
으로 설명할 수 있다.
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
유클리드 공간 으로 축소된다. 그러나 바일 텐서 의 성분이 모두 0이면 공간이 "평평하다 "고 할 수 있다. 3차원에서 이 조건은 리치 텐서
R
a
b
{\displaystyle R_{ab}}
리치 스칼라 (
R
{\displaystyle R}
R
a
b
=
g
a
b
R
{\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}
λ
=
−
1
2
ln
(
1
−
k
r
2
)
{\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}
k
≡
R
2
{\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}
이는 계량
d
l
2
=
d
r
2
1
−
k
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}
을 제공한다. 여기서
k
{\displaystyle k}
열림, 평평함, 닫힘 [ 편집 ] 등방적 이고 균질한 공간은 다음 계량
d
l
2
=
d
r
2
1
−
κ
r
2
R
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}
으로 설명할 수 있다. 곡률 상수
R
{\displaystyle R}
유클리드 공간 으로 수렴한다. 이는 본질적으로
κ
{\displaystyle \kappa }
κ
{\displaystyle \kappa }
κ
=
+
1
{\displaystyle \kappa =+1}
타원형 이라고 한다.
κ
=
−
1
{\displaystyle \kappa =-1}
쌍곡형 이라고 한다.
열린 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 작다. 닫힌 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 크다. 하지만 부피는
(
4
/
3
)
π
r
3
{\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}
가 아니다.
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