기하학에서 CAT(κ) 공간(-空間, 영어: CAT(κ) space)은 단면 곡률이 어디서나
이하인 거리 공간이다.
임의의 실수
에 대하여,
가 단면 곡률이
인 2차원 연결 단일 연결 공간 형식이라고 하자. 즉,
일 경우 이는 구,
일 경우는 유클리드 평면,
일 경우는 쌍곡 평면이다. 이 공간 형식의 지름은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {diam} \Sigma _{\kappa }={\begin{cases}\pi /{\sqrt {\kappa }}&\kappa >0\\\infty &\kappa \leq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbef6fadac9ebb0c7eb5586e92187948f78f50b6)
측지선 거리 공간(영어: geodesic metric space)
은 다음 조건을 만족시키는 길이 거리 공간이다.
- 임의의 두 점
에 대하여, 두 점을 잇는 측지선
가 존재한다.
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ca01f43292d9201ba7b9d04bfff1dc493670d8)
![{\displaystyle \gamma (0)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dab41ed8ce16471a6105c5e80458c28680f1b67)
![{\displaystyle \gamma (1)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0832b9af81ad6f1ad796ff5944ff2280124d7a12)
![{\displaystyle d(\gamma (s),\gamma (t))=|t-s|\qquad (s,t\in [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7397aabfffab1443b8258bb64c6532ef3e82fa0d)
두 점
를 잇는 측지선을
로 표기하자.
측지선 거리 공간
속의 세 점
에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는
가 존재한다면, 삼각형
가
부등식을 만족시킨다고 한다.
,
, ![{\displaystyle d(z,x)=d(z',x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5a37c20db8a002155b33131b127fd842f1f122)
위의 두 점 사이의 거리는
위의 대응하는 하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle d(\gamma _{xy}(s),\gamma _{yz}(t))\leq d(\gamma _{x'y'}(s),\gamma _{y'z'}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3f1bb077b7ba718b08127ec0faa15d1ff1f258)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle d(\gamma _{yz}(s),\gamma _{zx}(t))\leq d(\gamma _{y'z'}(s),\gamma _{z'x'}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef99b8d0ddeaed84068c143e2354d77356f7f37)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle d(\gamma _{zx}(s),\gamma _{xy}(t))\leq d(\gamma _{z'x'}(s),\gamma _{x'y'}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5e3f14a847349e72d4b6541a388513b98a5ab1)
측지선 거리 공간
속의 임의의 세 점
에 대하여
부등식이 성립한다면,
를
공간이라고 한다.
완비
공간을 아다마르 공간(영어: Hadamard space)이라고 한다.
임의의
공간은
공간이다 (
). 만약 거리 공간
가 모든
에 대하여
공간이라면,
는
공간이다.
모든 (완비일 필요가 없는) 내적 공간은
공간이다. 임의의 노름 공간
가 어떤 실수
에 대하여
공간이라면,
는 내적 공간이다.
차원 쌍곡 공간은
공간이다.
반지름이
인
차원 초구
은
공간이다. (이 초구의 길이 거리 공간으로서의 지름은
이다.)
CAT(κ) 공간의 개념은 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 "
영역"으로 명명하였다. 이후 미하일 그로모프가 1987년의 유명한 논문에서 "CAT(κ) 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 앙리 카르탕(Cartan) · 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프(Александров) · 빅토르 안드레예비치 토포고노프(Топоногов)의 머릿글자를 딴 것이다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]