쌍곡 기하학에서 쌍곡공간(雙曲空間, 영어: hyperbolic space)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다.
가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간
은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(영어: sectional curvature)이 −1인
차원 연결 단일 연결 최대 대칭(영어: maximally symmetric) 리만 다양체이다.
쌍곡공간
은
차원 유클리드 공간
과 위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다.
쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.
![{\displaystyle R_{ijkl}=-(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5a903fab5127a2fdfefc882ef022dc4dd7ad29)
여기서
는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.
쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군
이다.
차원 쌍곡공간
은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.
푸앵카레 반공간[편집]
n차원 열린 상반공간
에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.
![{\displaystyle ds^{2}=z^{-2}(dz^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29abedaef7bc589c9a5e08698c578e2eb4cee91)
이 리만 다양체는
과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(영어: Poincaré half-space model)이라고 한다.
이 경우, 측지선은
평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {dist} (z_{1},\mathbf {x} _{1};z_{2},\mathbf {x} _{2})=\cosh ^{-1}\left(1+{\frac {\Vert \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\Vert ^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84efa01d00a3a3c3b5040da9d36d30d46e53f19)
푸앵카레 공[편집]
반지름이 1인 n차원 열린 초공
에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서
는 구면좌표계이다 (
,
).
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{(1-r^{2})^{2}}}(dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc08bc9407d3190da1647d6a6cb3b1b2125c2c26)
이 리만 다양체는
과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(영어: Poincaré ball model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면
에 수직인 원호이다.
갠스 모형[편집]
n차원 유클리드 공간
에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {d{\tilde {r}}^{2}}{1+{\tilde {r}}^{2}}}+{\tilde {r}}^{2}d\Omega ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3354d60afed0c3b7e23d7a4705ed1faf3466fdf3)
여기서
는
의 구면좌표계이다.
이 리만 다양체는
과 등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(영어: Gans model)이라고 한다.[1]
갠스 모형
은 푸앵카레 공 모형
과 다음과 같이 대응한다.
![{\displaystyle {\tilde {r}}=2r/(1-r^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c273624e8cb1b567eaed134c8577904611d2271)
갠스 모형은 쌍곡면 모형
과 다음과 같이 대응한다.
![{\displaystyle (t,\rho )=({\sqrt {1+r^{2}}},r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3136088eaf9639df59dddc6f680c18892c4c927d)
즉, 이는 쌍곡면 모형
을
공간으로 그대로 사영한 것이다.
쌍곡면 모형[편집]
차원 민코프스키 공간
은 다음과 같은 계량을 갖는다.
![{\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54eeda507b417c832af793077329aef55feadf38)
민코프스키 공간 속의, 다음과 같은
차원 초곡면을 생각하자.
![{\displaystyle \{(t,\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{1,n}|t^{2}-\Vert \mathbf {x} \Vert ^{2}=1,\;t>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2704464055be3d29596048ae881f9cc02b4d12)
이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는
과 등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(영어: hyperboloid model)이라고 한다.
동차공간으로서의 정의[편집]
쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.
![{\displaystyle H^{n}\cong \operatorname {O} ^{+}(1,n)/\operatorname {O} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e61e20a5ae481fef1c173e59729ef0069452d5)
여기서
은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군이며,
은 직교군이다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]