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푸앵카레 원판

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푸앵카레 원판에서의 측지선들.

기하학에서 푸앵카레 원판(영어: Poincaré disc) 또는 푸앵카레 공(영어: Poincaré ball)은 원판 또는 모양의 쌍곡공간의 모형이다.

역사

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앙리 푸앵카레의 이름이 붙어 있으나, 사실 에우제니오 벨트라미가 최초로 도입하였다.[1] 벨트라미는 이 모형으로 비유클리드 기하학의 일관성을 증명하였다.

정의

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n차원 푸앵카레 공은 다음과 같은 계량이 주어진 단위 열린

이다. 여기에 주어진 리만 계량은 다음과 같다.

구체적으로, 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

2차원 푸앵카레 공은 푸앵카레 원판이라고 한다.

성질

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쌍곡기하학의 기하학적인 개념들은 푸앵카레 공에서 다음과 같이 구현된다.

쌍곡기하학적 개념 푸앵카레 공에서의 구현
무한대 공의 경계
측지선 공의 경계와 수직으로 교차하는 원호
측지선에 대한 반사 원에 대한 반전

각주

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  1. Beltrami, Eugenio (1868). “Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante”. 《Annali. di Mat., ser II》 (이탈리아어) 2: 232-255. 
  • Anderson, James W. (2005). 《Hyperbolic Geometry》 2판. Springer. 

같이 보기

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외부 링크

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