고유값 분해

고유값 분해(eigen decomposition)는 고유값과 고유벡터로부터 유도되는 고유값 행렬과 고유벡터 행렬에 의해 분해될수있는 행렬의 표현이다.

선형대수학에서 , 고유값 분해 또는 고유 분해(때때로 스펙트럼 분해)는 매트릭스(행렬)를 정형화된 형태로 분해함으로써 행렬이 고유값 및 고유 벡터로 표현된다. 대각화 가능 행렬만이 인수분해될 수 있다.

분해

$A={\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}$ , I는 단위행렬, det는 행렬식

${\begin{aligned}\det(xI-A)&={\begin{pmatrix}x-(-5)&-4\\-0&x-(1)\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-(-5+1)x+(-5-0)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}}$

$x^{2}+4x-5=0$

$x=1\;,\;-5$

이어서

$x=-5$일때,

${\begin{pmatrix}(-5)-(-5)&-4\\-0&(-5)-(1)\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&-4\\0&-6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

$-4x_{2}=0$

$-6x_{2}=0$

$x_{2}=0$

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\0\end{pmatrix}}=x_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

$x=1$일때,

${\begin{pmatrix}(1)-(-5)&-4\\-0&(1)-(1)\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}6&-4\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

$6x_{1}+-4x_{2}=0$

$6x_{1}=4x_{2}$

$x_{1}={{4x_{2}} \over {6}}$

$x_{1}={{2} \over {3}}x_{2}$

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}x_{2}\\x_{2}\end{pmatrix}}=x_{2}{\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}\\1\end{pmatrix}}$

고유 벡터의 순서에서 고유벡터행렬 $P$를 얻고 ,

${\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}$

이어서

$P^{-1}AP=A^{D}$

로부터 대각화 행렬 $A^{D}$ 을 얻는다.

${\begin{pmatrix}1&-{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$P^{-1}AP=A^{D}$

$PP^{-1}AP=PA^{D}$

$AP={P}{A^{D}}$

$AP{P^{-1}}={P}{A^{D}}{P^{-1}}$

$A={P}{A^{D}}{P^{-1}}$

행렬 A에 대한 고윳값 분해는 이와 같다.

${\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}$

특수한 경우

• 임의의 행렬 A 와 ${\Lambda }$가 대각행렬일때,

$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}$

Q는 직교행렬

□ ^-1는 역행렬

${\Lambda }$는 A^D

• 임의의 행렬 A 가 대칭행렬일때,

$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T}$

Q는 직교행렬

□ ^T는 전치행렬

${\Lambda }$는 A^D

같이 보기

• 행렬 분해
• 대각화 행렬
• 특이값 분해

참고

• 매스월드