타원

두 점 F1과 F2를 초점으로 갖는 타원.

원뿔을 평면으로 잘라 얻은 타원.

타원(楕圓)은 평면 위의 두 정점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선이다. 타원을 정의하는 기준이 되는 두 정점을 타원의 초점이라고 한다. 타원 상에서 두 개의 초점으로부터의 거리가 같은 두 점을 잇는 선분을 단축(짧은 축)이라고 하며, 두 개의 초점으로부터의 거리의 차가 최대인 두점을 잇는 선분을 타원의 장축(긴 축)이라고 한다. 또한, 단축의 반을 짧은반지름, 장축의 반은 긴반지름이라고 한다. 두 초점이 가까울 수록 타원은 원에 가까워지며, 두개의 초점이 일치했을 때의 타원은 원이 된다. 따라서 원은 타원의 특수한 경우라고 생각할 수 있다.

타원은 원뿔을 잘라 만들 수 있는 원뿔 곡선 가운데 하나인 폐곡선이다. 오른쪽의 그림과 같이 원뿔을 평면으로 자르면 타원이 생긴다.

천문학에서는 행성의 공전 궤도가 태양을 두 초점 가운데 하나로 하는 타원이라는 것을 발견하였다.

타원의 작도

위의 정의를 따르면 두 개의 초점에 실을 고정해, 실을 팽팽하게 유지하면서 필기구를 실에 걸쳐서 움직여서 그릴 수 있다. 이 외, 타원 컴퍼스, 타원 템플릿등을 사용하여 작도할 수 있다.

타원의 방정식

2차원 직교좌표계에서 원점 O가 타원의 장축과 단축의 교점이며, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때의 타원의 방정식은 다음과 같이 간단히 표현된다.

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

장축이 x축과 일치할 때, 2 a는 타원의 장축의 길이, 2 b는 단축의 길이가 된다. 같은 타원을 호도각에 따른 매개변수 t로 나타내면 다음과 같다.

$x=a\,\cos t$

$y=b\,\sin t$

$0\leq t<2\pi$

x축으로 α만큼, y축으로 β만큼 평행이동한 타원의 방정식은 다음과 같다.

${\frac {(x-\alpha )^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-\beta )^{2}}{b^{2}}}=1$

타원의 넓이

긴반지름이 $a$이고 짧은반지름이 $b$인 타원의 넓이는 $ab\pi$이다. 타원의 넓이는 다음과 같이 생각하여 계산할 수 있다.

표준 타원 방정식 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 을 $y$에 대하여 변환하면,

$y=\pm {\sqrt {b^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)}}=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

한편, $y=\pm {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ 는 반지름이 $a$ 인 원의 방정식 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$과 동치이고, 반지름이 $a$인 원의 넓이는 $a^{2}\pi$ 이므로, 타원의 넓이는 ${\frac {b}{a}}\cdot a^{2}\pi =ab\pi$

이심률

 이 부분의 본문은 이심률입니다.

타원이 찌그러진 정도를 나타내는 이심률 $E={\frac {c}{a}}$는 다음과 같이 정의된다.

$E={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

원은 이심률이 0인 경우이고, 이심률이 작을 수록 원에 가깝다.

타원의 성질

한 초점에서 출발한 빛이 진행하다가 타원의 어느 한점을 만나면 이때 빛은 페르마의 최소 시간 원리를 따르므로 타원에서 반사되고 그 후 빛은 타원의 다른 초점을 지난다. 또한, 타원의 외부에서 한 초점을 향해 진행하던 빛이 타원의 어느 한 점과 만나면 그 빛은 이 점과 다른 초점을 연결한 직선을 따라 반사된다.

같이 보기

• 장축단