2의 제곱근

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 { $\mathbb{R}(\mathrm{i})$ } 허수 $\mathbb{R}$ 실수 { $\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$ } $\mathbb{I}$ 무리수 { $\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$ } $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3,-4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 Superreal 초실수 Surreal
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $π$ 파이 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$ ) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β^* - δ - α - C₂ - M₁ - B₂ - B₄ - Λ - K - K - K - B´_L - μ - E_B - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

2의 제곱근, $\sqrt{2}$ 는 스스로 곱해서 2가 되는 양의 실수로, 피타고라스 상수로도 잘 알려져 있다. 소수점이하 65자리까지의 근사값(OEIS의 수열 A002193)은 다음과 같다.

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799

또, $\sqrt{2}$ 는 첫번째로 알려진 무리수이다. 기하학적으로 피타고라스 정리에 따르면 $\sqrt{2}$ 는 한변의 길이가 단위 1인 정사각형의 대각선의 길이다.

[편집] 무리수 증명

이 수가 무리수라는 것은 귀류법을 이용해서 증명할 수 있다.

만약 $\sqrt{2}$ 가 유리수라고 하면, $\frac a b = \sqrt{2}$ 를 만족하고 서로 소인 정수 $a$ 와 $b$ 가 존재한다.
그렇다면 양변을 제곱한 식인 $\left( \frac a b \right)^2 = 2$ 가 성립한다.
정리하면 $a 2 = 2 b 2$ 가 되고, 우변이 짝수이므로 좌변도 짝수이고, 따라서 $a$ 도 짝수가 된다.
그러면 $a = 2 k$ 인 정수 $k$ 가 존재하고, 이 식을 대입하면 $(2 k) 2 = 2 b 2$ 이 된다.
정리하면 $b 2 = 2 k 2$ 이고, 같은 방법으로 $b$ 는 짝수여야 한다.
(3)과 (5)에서 2는 $a$ 와 $b$ 의 공약수이고, 이것은 처음에 두 수가 서로 소라는 조건과 모순된다.
따라서, 처음의 가정이 잘못되었고, 결국 $\sqrt{2}$ 는 무리수이다.