유리형함수

복소해석학에서, 유리형함수(有理型函數, meromorphic function)는 극을 가질 수 있지만 본질적 특이점을 가지지 않고, 특이점을 제외한 다른 모든 점에서 정칙인 복소 함수다.

정의

$\Sigma$가 리만 곡면(1차원 복소 다양체)이라고 하자. $\hat{\mathbb C}$가 리만 구 (무한대 $\infty$를 추가한 복소 평면)라고 하자. 그렇다면 $\Sigma$위의 유리형함수는 정칙함수 $\Sigma\to\hat{\mathbb C}$이다. 즉, 유리형함수는 극(pole)을 제외하고는 나머지 모든 점에서 ($\mathbb C$값을 가진) 정칙함수인 함수다.

성질

컴팩트하지 않은 리만 곡면 위의 유리형함수는 두 정칙함수의 비다.

컴팩트 리만 곡면에서는 모든 정칙함수는 상수함수지만, 상수함수가 아닌 유리형함수가 존재한다. 리만 구 $\hat{\mathbb C}$위의 유리형함수는 모두 유리함수다. 복소 타원곡선도 컴팩트 리만 곡면의 일종인데, 타원곡선 위의 유리형함수를 타원함수(elliptic function)라고 한다.

유리형함수는 모든 점에서 로랑 급수로 전개할 수 있으며, 그 주부(principal part)는 유한개의 항만을 포함한다.

연결 리만 곡면 위의 유리형함수들의 집합은 체를 이루며, 이는 (상수함수로 간주한) 복소수체의 확대이다.

예

복소해석학에서 다루는 대부분의 함수는 유리형함수다.

모든 유리함수

$f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$ ($p(z)$, $q(z)$는 다항식)

는 유리형함수다. 감마 함수나 리만 제타 함수는 유리함수가 아니지만 유리형함수이다.

함수 $z\mapsto\exp(1/z)$는 $z=0$에서 극이 아닌 본질적 특이점(essential singularity)를 가지므로, 복소 평면에서 유리형함수가 아니다. (물론 0을 제외한 복소 평면 위에서는 유리형함수이자 정칙함수다.)