유리형함수

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복소해석학에서, 유리형함수(有理型函數, 영어: meromorphic function)는 극을 가질 수 있지만 본질적 특이점을 가지지 않고, 특이점을 제외한 다른 모든 점에서 정칙인 복소 함수다.

정의[편집]

\Sigma리만 곡면(1차원 복소 다양체)이라고 하자. \hat{\mathbb C}리만 구 (무한대 \infty를 추가한 복소 평면)라고 하자. 그렇다면 \Sigma위의 유리형함수정칙함수 \Sigma\to\hat{\mathbb C}이다. 즉, 유리형함수는 극(pole)을 제외하고는 나머지 모든 점에서 (\mathbb C값을 가진) 정칙함수인 함수다.

성질[편집]

콤팩트하지 않은 리만 곡면 위의 유리형함수는 두 정칙함수다.

콤팩트 리만 곡면에서는 모든 정칙함수상수함수지만, 상수함수가 아닌 유리형함수가 존재한다. 리만 구 \hat{\mathbb C}위의 유리형함수는 모두 유리함수다. 복소 타원곡선도 콤팩트 리만 곡면의 일종인데, 타원곡선 위의 유리형함수를 타원함수(elliptic function)라고 한다.

유리형함수는 모든 점에서 로랑 급수로 전개할 수 있으며, 그 주부(principal part)는 유한개의 항만을 포함한다.

연결 리만 곡면 위의 유리형함수들의 집합은 를 이루며, 이는 (상수함수로 간주한) 복소수체의 확대이다.

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복소해석학에서 다루는 대부분의 함수는 유리형함수다.

모든 유리함수

f(z)=\frac{p(z)}{q(z)} (p(z), q(z)다항식)

는 유리형함수다. 감마 함수리만 제타 함수는 유리함수가 아니지만 유리형함수이다.

함수 z\mapsto\exp(1/z)z=0에서 극이 아닌 본질적 특이점(essential singularity)를 가지므로, 복소 평면에서 유리형함수가 아니다. (물론 0을 제외한 복소 평면 위에서는 유리형함수이자 정칙함수다.)