다항식의 나머지 정리

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다항식의 나머지 정리(Polynomial remainder theorem), 또는 나머지 정리는 다항식의 나눗셈(Polynomial long division)의 성질과 항등식의 성질을 응용한 것으로서, x에 대한 다항식 f(x)선형 인수 x-a로 나눈 나머지는 f(a)와 같다는 정리이다.

나머지정리는 복잡한 다항식의 나눗셈을 직접하지않고 간단한 대입만으로 나머지를 구하는데 의의가 있다. 나머지정리의 원리는 아래와 같다.


다항식의 나눗셈의 성질은 A(x)를 B(x)로 나누었을때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라고 하면, A(x)=B(x)Q(x)+R(x)이 성립한다는것이다.

그리고 항등식의 성질은 (특정한 문자)에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는것이므로,

위의 나눗셈의 성질 A(x)=B(x)Q(x)+R(x)은 x에 대한 항등식임을 이용하여 x에 적당한값을 대입해서 BQ를 소거시키면 R만 남는데 이를 나머지 정리라고한다.

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피제수 f(x) = x^3 -12x^2 -42x-3으로 나눌 때 다항식의 나눗셈을 이용하여 몫 x^2 -9x -27과 나머지 -123을 얻을 수 있다.

그러므로 f(x)=(x-3)(x^2-9x-27)+(-123)은 x에 대한 항등식이다.

항등식의 정의에 따라,양변에서 복소수범위의 어떤 x값을 대입해도 항상 성립한다.

여기서 '나머지'와 비슷한 값을 얻기위해서 x에 어떤 값을 대입해야되는가? 제수와 몫이 곱해져있는 부분을 0으로 만들어 소거시켜야만한다. 몫 부분을 복소수의 범위에서 인수분해하기에는 간단하지가 않으므로, 일차식인 제수부분을 소거시켜야만한다. 즉, 양변에 x=3을 대입하여 제수부분을 소거시킨후, 연달아 몫부분까지 소거시키면 나머지와 비슷한 값이 나오게된다.

즉, 나머지는 f(3)=-123와 같고, 이것이 나머지정리이다.

증명[편집]

 f(x)\in F[x],\; a\in F라 하면.

다항식의 나눗셈 정리에서

f(x)=q(x)(x-a)+r(x),\;\mbox{deg}\,r<\mbox{deg}\,(x-a)

를 만족시키는 q, r\in F[x]이 존재한다.

이 때, \mbox{deg}\,(x-a)=1 이므로 \mbox{deg}\,r\le 0 이다. 따라서 r은 F의 원소이고 x=a 를 대입하면

\therefore f(a)=r